В теории матриц определитель (детерминант) является главной алгебраической характеристикой невырожденности системы. Однако для особого геометрического класса матриц — кососимметричных (где A = -A^T) — определитель обладает уникальной алгебраической избыточностью. В середине XIX века немецкий математик Иоганн Фридрих Пфафф доказал теорему, гласящую, что определитель любой кососимметричной матрицы четного порядка всегда является точным полным квадратом некоего многочлена от ее элементов. Этот фундаментальный многочлен получил название Пфаффиан (Pfaffian). Изучение пфаффианов переводит линейную алгебру на территорию комбинаторики совершенных паросочетаний и играет критическую роль в статистической механике и топологических вычислениях.

Традиционная линейная алгебра и анализ строятся над полями вещественных или комплексных чисел, которые подчиняются правилу коммутативности (a*b = b*a). Однако в квантовой теории поля, при попытке математически описать фермионы (такие как электроны или кварки), физики столкнулись с непреодолимым барьером. Фермионы подчиняются принципу запрета Паули (антикоммутируют), и для их матричного описания потребовалось расширить понятие самого числа. Так в физику вошли числа Грассмана — антикоммутирующие алгебраические элементы. Внедрение этих переменных потребовало создания совершенно новой суперматематики, венцом которой стал интеграл Березина — фантастический аппарат, в котором операции дифференцирования и интегрирования матриц тождественны друг другу.

В теории линейных операторов важнейшей задачей является приведение матрицы к максимально простому и понятному виду. Жорданова нормальная форма дает исчерпывающий ответ на этот вопрос в теории, однако на практике ее вычисление вычислительно нестабильно и разрушается при малейших возмущениях данных. В 1954 году математик Нельсон Данфорд формализовал альтернативный, алгебраически более надежный и элегантный подход, известный сегодня как разложение Данфорда (или аддитивное разложение Жордана-Шевалле). Это разложение представляет любой линейный оператор в виде суммы двух коммутирующих частей: полупростой (идеально диагонализуемой) и нильпотентной. Разложение Данфорда играет фундаментальную роль в теории групп Ли, алгебраической геометрии и функциональном анализе.

Математический анализ (дифференцирование и интегрирование) изначально создавался для работы со скалярными функциями. Однако в современной статистике, теории управления и алгоритмах машинного обучения (в частности, при тренировке глубоких нейронных сетей) функции зависят не от одной переменной, а от огромных векторов и матриц. Поиск минимума таких сложных многомерных функций потерь требует вычисления производных по матричному аргументу. Матричное исчисление (Matrix Calculus) — это строгий математический аппарат, объединяющий компактную нотацию линейной алгебры с цепными правилами математического анализа, позволяющий брать производные от матриц по векторам и от скаляров по матрицам без утомительного расписывания тысяч частных производных.