Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) — это абсолютный фундамент всей современной цифровой эры. Оно позволяет разложить любой сигнал (звук, изображение, радиоволну) на гармонические составляющие (спектр). С точки зрения линейной алгебры, ДПФ является не чем иным, как умножением вектора сигнала на квадратную матрицу Вандермонда, заполненную комплексными корнями из единицы. Однако прямое умножение вектора на плотную матрицу размера n на n требует O(n^2) арифметических операций. Для обработки аудиосигнала с частотой 44100 Гц компьютеру потребовались бы миллиарды вычислений в секунду, что сделало бы MP3 и стриминг невозможными. Изящное решение — алгоритм Быстрого преобразования Фурье (БПФ), алгебраическая структура которого основана на факторизации матриц.

Традиционные алгоритмы вычислительной линейной алгебры (такие как сингулярное разложение или QR-факторизация) требуют кубического времени выполнения, что делает их абсолютно неприменимыми для обработки современных массивов данных петабайтного масштаба. В ответ на этот вызов математики создали совершенно новую парадигму — Рандомизированную вычислительную линейную алгебру (RandNLA). Вместо точных, детерминированных, но бесконечно долгих вычислений, этот подход использует законы теории вероятностей для нахождения потрясающе точных аппроксимаций за долю секунды. RandNLA лежит в основе алгоритмов машинного обучения корпоративного уровня, позволяя мгновенно сжимать матрицы, находить главные компоненты и решать переопределенные системы огромной размерности.

Обычно мы рассматриваем многочлены (полиномы), корнями которых являются числа, а коэффициентами — скаляры. В теореме Кэли-Гамильтона мы подставляем матрицу в скалярный многочлен. Но в механике сплошных сред, теории вибраций, акустике и квантовой физике возникает совершенно иной математический объект — матричные многочлены. У матричного многочлена коэффициентами (а иногда и самой неизвестной переменной) выступают квадратные матрицы. Самым важным из них является квадратичный матричный многочлен, описывающий затухающие колебания конструкций (мостов, небоскребов, крыльев самолетов). Линейная алгебра матричных многочленов, глубоко разработанная Питером Ланкастером, требует принципиально новых понятий латентных корней и нелинейной линеаризации.

В классической евклидовой геометрии понятие угла между двумя пересекающимися прямыми или между прямой и плоскостью интуитивно понятно и вычисляется через простое скалярное произведение. Но как математически строго измерить «близость» или «угол» между двумя пятимерными гиперплоскостями в стомерном пространстве? Для решения этой сложнейшей топологической задачи французский математик Камиль Жордан в 1875 году ввел понятие главных (канонических) углов. Главные углы между подпространствами обобщают понятие скалярного произведения на объекты любой размерности, выступая мощнейшим инструментом в компьютерном зрении, отслеживании движущихся объектов, машинном обучении и статистическом корреляционном анализе.