Тензорная алгебра в механике сплошных сред: инварианты напряжений

Тензор напряжений Коши и матрица 3x3

Тензор напряжений Коши (обозначается буквой sigma или tau) — это тензор второго ранга, который в трехмерном евклидовом пространстве представляется квадратной матрицей размера 3x3. На главной диагонали этой матрицы стоят нормальные напряжения (sigma_xx, sigma_yy, sigma_zz), описывающие растяжение или сжатие материала по осям координат. Вне диагонали стоят касательные напряжения (tau_xy, tau_xz и т.д.), которые пытаются исказить форму кубика (превратить его в ромб). Величайшая теорема механики сплошных сред (закон парности касательных напряжений, вытекающий из сохранения момента импульса) утверждает, что тензор напряжений абсолютно всегда является симметричной матрицей (tau_xy = tau_yx). Симметричность означает, что из 9 компонентов тензора независимыми являются только 6.

Главные напряжения и спектральная теорема

Поскольку матрица напряжений вещественна и симметрична, к ней немедленно применяется Спектральная теорема линейной алгебры. Это означает, что внутри любой детали, как бы сложно она ни была нагружена, всегда существует такая уникальная система координат (ортонормированный базис), в которой матрица напряжений становится строго диагональной. Касательные напряжения в этой системе координат полностью исчезают. Оси этой уникальной системы называются главными осями напряжений, а стоящие на диагонали собственные значения матрицы (sigma_1, sigma_2, sigma_3) — главными напряжениями. Поиск максимального собственного значения (спектрального радиуса) является критически важной задачей для инженера-прочниста, так как разрушение хрупких материалов (чугуна, бетона) происходит именно тогда, когда наибольшее главное напряжение превышает предел прочности.

Инварианты тензора и критерии текучести

При вращении системы координат (смене базиса) числа в матрице тензора меняются, однако характеристический многочлен тензора остается неизменным. Три коэффициента этого многочлена называются алгебраическими инвариантами тензора напряжений (I_1, I_2, I_3). Первый инвариант (I_1) — это след матрицы (сумма нормальных напряжений). Он описывает гидростатическое (всестороннее) давление, которое способно изменить объем материала, но не может изменить его форму или вызвать пластическую деформацию (металл нельзя разрушить всесторонним сжатием). Для оценки начала пластического течения пластичных металлов (стали) инженеры используют интенсивность касательных напряжений (критерий фон Мизеса). Этот критерий математически опирается на второй инвариант девиатора напряжений (матрицы напряжений, из которой вычли шаровой тензор давления).

Тензор упругости: обобщенный закон Гука

Связь между тензором напряжений и тензором деформаций описывается обобщенным законом Гука. Поскольку и напряжение, и деформация являются матрицами 3x3, коэффициент упругости, связывающий их, математически обязан быть тензором четвертого ранга (содержащим 3x3x3x3 = 81 компонент). Однако благодаря симметрии матриц напряжений и деформаций, а также термодинамическому закону сохранения энергии, количество независимых коэффициентов упругости для самого анизотропного материала (например, сложного кристалла) сокращается до 21. Для того чтобы записать этот тензорный закон Гука в виде привычного матричного уравнения (C = E * epsilon), в инженерной практике применяется Нотация Фойгта (Voigt notation). Она векторизует (сплющивает) 6 независимых компонент симметричных тензоров 3x3 в векторы-столбцы длины 6. Тензор упругости 4-го ранга при этом превращается в обычную симметричную матрицу жесткости размером 6x6, что позволяет современным программам конечно-элементного анализа эффективно решать гигантские системы линейных уравнений.