Теорема Шура-Хорна и мажоризация: ограничения на диагонали матриц

Концепция мажоризации векторов

Чтобы понять теорему, необходимо сначала определить математическое понятие мажоризации — способа сравнения «разброса» или «равномерности» элементов двух векторов. Пусть у нас есть два вектора x и y одинаковой длины, элементы которых отсортированы по убыванию. Говорят, что вектор x мажорирует вектор y (пишется x ≻ y), если сумма всех их элементов одинакова, но при этом для любого числа k (от 1 до n-1) сумма первых k элементов вектора x всегда больше или равна сумме первых k элементов вектора y. Физический или экономический смысл мажоризации предельно ясен: вектор x представляет собой более «сконцентрированное», неравномерное распределение ресурса, в то время как вектор y представляет собой более «размазанное», усредненное распределение того же самого объема ресурса.

Формулировка теоремы Шура-Хорна

Теорема Шура-Хорна касается исключительно эрмитовых (или вещественных симметричных) матриц. Пусть вектор lambda состоит из собственных значений матрицы, а вектор d — из элементов ее главной диагонали. Исай Шур в 1923 году доказал прямую часть теоремы: для любой эрмитовой матрицы вектор ее собственных значений всегда мажорирует вектор ее диагональных элементов (lambda ≻ d). Это означает, что диагональные элементы всегда являются некими «усредненными» версиями собственных значений (результатом смешивания). В 1954 году Альфред Хорн доказал обратное (что было значительно сложнее): если заданы два любых вектора lambda и d такие, что lambda ≻ d, то абсолютно гарантированно существует (и может быть построена) симметричная матрица с собственными значениями lambda и диагональю d.

Связь с дважды стохастическими матрицами (Теорема Биркгофа)

Алгебраическая магия теоремы кроется в процессе перехода от собственных значений к диагонали. Диагональ эрмитовой матрицы A = U * D * U* (где U — унитарная матрица) вычисляется как умножение вектора собственных значений на матрицу P, элементы которой являются квадратами модулей элементов унитарной матрицы U. Матрица P обладает особым свойством — она является дважды стохастической (сумма элементов в каждой строке и в каждом столбце строго равна единице). Согласно знаменитой теореме Биркгофа-фон Неймана, любая дважды стохастическая матрица представляет собой выпуклую комбинацию матриц перестановок. Именно этот факт геометрически доказывает, что вектор диагонали всегда лежит внутри многогранника перестановок (ортостопа), вершинами которого являются все возможные перестановки собственных значений.

Применение в квантовой теории информации и запутанности

Сегодня теорема Шура-Хорна переживает ренессанс в области квантовых вычислений. В квантовой механике состояния системы описываются матрицами плотности (положительно определенными эрмитовыми матрицами со следом 1). Собственные значения матрицы плотности характеризуют фундаментальную квантовую информацию, а диагональные элементы описывают классические вероятности обнаружения системы в определенных базисных состояниях при измерении. Мажоризация (Теорема Нильсена) напрямую используется для ответа на важнейший вопрос: можно ли с помощью локальных квантовых операций детерминированно перевести одно запутанное состояние в другое? Математический аппарат мажоризации Шура-Хорна позволяет вычислять строгие пределы эффективности квантовых алгоритмов сжатия и телепортации информации.