Когда мы вращаем сферу, она переходит сама в себя, не меняя формы. Это проявление непрерывной симметрии. В конце XIX века норвежский математик Софус Ли разработал теорию, позволяющую анализировать такие непрерывные преобразования с помощью аппарата линейной алгебры и математического анализа. Он обнаружил, что сложные, криволинейные глобальные преобразования (группы Ли) могут быть полностью описаны своими бесконечно малыми, локальными свойствами вблизи точки покоя. Это локальное (линейное) приближение получило название алгебры Ли. Сегодня матричные группы и алгебры Ли являются абсолютным фундаментом квантовой механики, теории элементарных частиц (Стандартной модели) и кинематики робототехнических систем.

Когда мы смотрим на прямоугольную матрицу, заполненную сотнями чисел, возникает естественный вопрос: сколько в ней действительно уникальной, независимой информации? Часто строки матрицы дублируют друг друга или являются простыми линейными комбинациями других строк (как уравнения, получаемые друг из друга простым умножением на число). Характеристика, которая отсеивает весь этот информационный «мусор» и показывает истинную размерность данных, называется рангом матрицы. Понятие ранга является стержневым в линейной алгебре: оно определяет совместность систем уравнений, обратимость операторов и размерности фундаментальных подпространств, связанных с матрицей.

В линейной алгебре большинство теорем о спектрах матриц (собственных значениях) опираются на их симметрию, ортогональность или вырожденность. Однако в начале XX века математики Оскар Перрон и Фердинанд Фробениус доказали удивительную теорему, опирающуюся исключительно на знаки элементов матрицы. Теорема Перрона-Фробениуса описывает свойства матриц, все элементы которых строго положительны (или неотрицательны). Эта теорема стала настоящим подарком для прикладных наук. Без нее невозможно было бы доказать сходимость алгоритма Google PageRank, рассчитывать стационарные распределения в марковских случайных цепях, анализировать демографические модели роста популяций и балансировать макроэкономические модели межотраслевого баланса.