Когда мы переходим от школьной ньютоновской физики к серьезной теоретической механике и теории струн, на смену обычным векторам скоростей и ускорений приходит концепция фазового пространства. Состояние любой системы описывается не только координатами (положением), но и сопряженными им импульсами. Эта неразрывная парность координат и импульсов порождает совершенно уникальный вид геометрии, который нельзя описать привычным скалярным произведением и матрицами Грама. Возникает симплектическая геометрия — раздел математики, в котором линейная алгебра работает с кососимметричными матрицами. Изучение симплектических пространств позволяет предсказывать орбиты планет, сохранять объемы фазовой жидкости в статистической физике и создавать сверхточные алгоритмы численного интегрирования.

При изучении линейной алгебры в университете мы привыкаем, что числа внутри векторов и матриц являются вещественными или комплексными, а их количество бесконечно. Однако аксиоматика векторных пространств абсолютно не требует непрерывности. Французский математик Эварист Галуа показал, что можно строить безупречную алгебру над конечными полями (наборами, состоящими из строго ограниченного количества чисел), где операции сложения и умножения выполняются по модулю (как на циферблате часов). Векторные пространства над полями Галуа (GF) кардинально отличаются от евклидовых: в них нет понятий «больше» или «меньше», нет расстояний и углов, но именно эта дискретная линейная алгебра является математической броней современного интернета, обеспечивая работу криптографии и кодов, исправляющих ошибки.

Когда мы решаем классическую систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида AX = B, мы ищем вектор-столбец X. Однако в теории автоматического управления, радиотехнике и теории устойчивости возникают системы совершенно иного уровня, где искомой величиной является целая матрица, а коэффициенты сами выступают в роли матриц. Эти задачи описываются линейными матричными уравнениями. Самыми известными и важными из них являются уравнение Сильвестра и его симметричный частный случай — уравнение Ляпунова. Эти алгебраические конструкции служат главным математическим инструментом для оценки того, пойдет ли процесс управления космическим аппаратом или химическим реактором вразнос, или система плавно вернется в состояние равновесия.