Линейная алгебра идеальна для описания ровных плоскостей и прямых пропорциональностей. Но реальный мир физики, биологии и экономики нелинеен: процессы ускоряются, замедляются, сталкиваются с хаосом и турбулентностью. Чтобы применить мощный аппарат матричной алгебры к искривленному нелинейному миру, математикам потребовался мост. Этим мостом стал многомерный математический анализ и, в частности, Матрица Якоби (Якобиан), названная в честь немецкого математика Карла Густава Якоба Якоби. Матрица Якоби осуществляет операцию локальной линеаризации: она берет сложную, запутанную нелинейную систему уравнений и в окрестности одной конкретной точки заменяет ее на идеально плоскую, линейную матричную систему, с которой легко и приятно работать.

Метод главных компонент (PCA) безупречно работает для наборов дискретных векторов. Однако в радиолокации, сейсмологии и финансовой математике объекты часто представляют собой не векторы, а непрерывные случайные процессы (функции времени), такие как белый шум или броуновское движение. Для анализа таких непрерывных стохастических систем финский математик Кари Карунен и французский математик Мишель Лоэв разработали гениальное обобщение PCA — преобразование Карунена-Лоэва (KLT). Этот математический аппарат переносит концепции симметричных матриц и собственных векторов в бесконечномерные гильбертовы пространства, используя интегральные уравнения для идеального сжатия и фильтрации зашумленных непрерывных сигналов.

Традиционная линейная алгебра утверждает, что динамика линейной системы полностью определяется ее собственными значениями (спектром). Если действительные части всех собственных значений отрицательны, система асимптотически устойчива. Однако в 1990-х годах физики и математики (в частности, Ллойд Трефетен) обнаружили парадокс: жидкости в трубах становились турбулентными даже при числах Рейнольдса, для которых классический спектральный анализ предсказывал абсолютную стабильность. Разгадка крылась в так называемых ненормальных матрицах (матрицах, чьи собственные векторы не образуют ортогональный базис). Для анализа скрытых нестабильностей таких систем была разработана потрясающая теория псевдоспектров.