Когда матрица является вырожденной (ее определитель равен нулю), классическая обратная матрица не существует. Самой популярной альтернативой является псевдообратная матрица Мура-Пенроуза, которая находит наилучшие решения методом наименьших квадратов. Однако матрица Мура-Пенроуза разрушает спектральные свойства (собственные значения) исходного оператора. Для глубокого анализа динамики систем с вырожденными матрицами Майкл Дразин в 1958 году предложил совершенно иной тип обобщенного обращения — обратную матрицу Дразина. Этот уникальный математический инструмент стал спасательным кругом при решении сложных дифференциально-алгебраических уравнений (DAE), описывающих электрические цепи и шарнирно-сочлененные механизмы роботов.

Традиционная линейная алгебра концентрируется на векторах, описывающих направленные отрезки (скорости, силы). Но как математически строго описать ориентированные площади, многомерные объемы и гиперплоскости, не скатываясь в сложнейшие системы координат и матрицы Грама? В середине XIX века немецкий математик Герман Грассман создал революционную абстрактную структуру, ныне известную как внешняя алгебра (или алгебра Грассмана). Эта алгебра расширяет векторное пространство, позволяя оперировать не только одномерными векторами, но и поливекторами — геометрическими объектами высших порядков. Внешняя алгебра является математическим сердцем современной дифференциальной геометрии, теории форм Картана и калибровочной теории поля.

Точное вычисление собственных значений (спектра) матриц большой размерности — задача колоссальной вычислительной сложности, требующая применения громоздких итерационных алгоритмов вроде метода QR. Однако во многих прикладных инженерных задачах (например, при проверке устойчивости энергосетей или мостовых конструкций) точные значения корней характеристического многочлена не нужны. Инженерам достаточно знать лишь примерную область на комплексной плоскости, где эти корни могут находиться. В 1931 году советский математик Семен Аронович Гершгорин опубликовал невероятно изящную теорему, которая позволяет очертить строгие границы спектра абсолютно любой квадратной матрицы, используя лишь элементарную арифметику: простые сложения модулей ее элементов.