Когда мы переходим от двумерных матриц к многомерным массивам чисел — тензорам, мы сталкиваемся с жестоким математическим феноменом, известным как «проклятие размерности». Если тензор имеет d измерений (мод), и по каждому измерению длина равна n, то общее количество элементов в нем составляет n^d. При n=10 и d=20 объем тензора превышает вместимость всех жестких дисков на планете. В физике квантовых многочастичных систем и при решении уравнений в частных производных высоких размерностей этот барьер казался непреодолимым. В 2011 году российский математик Иван Оселедец предложил блестящий формат разложения многомерных массивов — Тензорный поезд (Tensor Train, TT), который свел экспоненциальную сложность к полиномиальной, совершив революцию в многолинейной алгебре.

Традиционные алгоритмы вычислительной линейной алгебры (такие как сингулярное разложение или QR-факторизация) требуют кубического времени выполнения, что делает их абсолютно неприменимыми для обработки современных массивов данных петабайтного масштаба. В ответ на этот вызов математики создали совершенно новую парадигму — Рандомизированную вычислительную линейную алгебру (RandNLA). Вместо точных, детерминированных, но бесконечно долгих вычислений, этот подход использует законы теории вероятностей для нахождения потрясающе точных аппроксимаций за долю секунды. RandNLA лежит в основе алгоритмов машинного обучения корпоративного уровня, позволяя мгновенно сжимать матрицы, находить главные компоненты и решать переопределенные системы огромной размерности.

Обычно мы рассматриваем многочлены (полиномы), корнями которых являются числа, а коэффициентами — скаляры. В теореме Кэли-Гамильтона мы подставляем матрицу в скалярный многочлен. Но в механике сплошных сред, теории вибраций, акустике и квантовой физике возникает совершенно иной математический объект — матричные многочлены. У матричного многочлена коэффициентами (а иногда и самой неизвестной переменной) выступают квадратные матрицы. Самым важным из них является квадратичный матричный многочлен, описывающий затухающие колебания конструкций (мостов, небоскребов, крыльев самолетов). Линейная алгебра матричных многочленов, глубоко разработанная Питером Ланкастером, требует принципиально новых понятий латентных корней и нелинейной линеаризации.