В классической евклидовой геометрии понятие угла между двумя пересекающимися прямыми или между прямой и плоскостью интуитивно понятно и вычисляется через простое скалярное произведение. Но как математически строго измерить «близость» или «угол» между двумя пятимерными гиперплоскостями в стомерном пространстве? Для решения этой сложнейшей топологической задачи французский математик Камиль Жордан в 1875 году ввел понятие главных (канонических) углов. Главные углы между подпространствами обобщают понятие скалярного произведения на объекты любой размерности, выступая мощнейшим инструментом в компьютерном зрении, отслеживании движущихся объектов, машинном обучении и статистическом корреляционном анализе.

Традиционная линейная алгебра изучает функции одного векторного аргумента (линейные операторы) или двух векторных аргументов (билинейные формы). Однако современная математика и теоретическая физика требуют инструментов для работы с функциями произвольного числа векторных аргументов. Этот раздел математики называется многолинейной алгеброй. Она обобщает понятие линейности на любое количество измерений, создавая конструкции, называемые градуированными алгебрами. Через операции тензорного, симметричного и внешнего произведений многолинейная алгебра объясняет фундаментальные различия между физическими частицами, алгебраическую геометрию многочленов и топологические свойства многообразий.

Классический метод сопряженных градиентов (CG) является венцом итерационных методов, но у него есть фатальное ограничение: он работает исключительно для симметричных положительно определенных матриц. Если матрица симметрична, но является неопределенной (имеет как положительные, так и отрицательные собственные значения), метод CG разрушается из-за деления на ноль. В 1975 году Кристофер Пейдж и Майкл Сондерс разработали два шедевральных алгоритма — MINRES (Minimal Residual) и SYMMLQ, которые решили эту проблему. Эти методы сохраняют феноменальную экономичность памяти метода сопряженных градиентов, но при этом гарантированно сходятся для абсолютно любых (в том числе невырожденных неопределенных) симметричных систем огромных размеров.