Трехмерная аналитическая геометрия изучает не только базовые эллипсоиды и гиперболоиды, но и более общие классы поверхностей, образованные непрерывным движением кривых в пространстве (кинематический способ образования поверхностей). Двумя важнейшими такими классами, лежащими в основе промышленного дизайна, архитектуры и систем автоматизированного проектирования (CAD), являются цилиндрические поверхности и поверхности вращения. Алгебраический аппарат позволяет конструировать уравнения этих сложных трехмерных оболочек, опираясь исключительно на плоские уравнения исходной генерирующей кривой (образующей) и заданного закона ее перемещения.

Краевые задачи физики — дифференциальные уравнения теплопроводности, электромагнетизма и механики сплошных сред — описывают наш мир бесконечномерными функциональными пространствами. Решить эти дифференциальные уравнения аналитически для деталей сложной формы (например, блока цилиндров двигателя) математически невозможно. Для решения этой проблемы был создан Метод Конечных Элементов (МКЭ/FEM). Суть МКЭ заключается в гениальной алгебраической дискретизации: бесконечномерное уравнение проецируется на конечномерное векторное пространство, превращая сложнейшую физическую задачу в одну гигантскую систему линейных алгебраических уравнений вида K*x = F. Именно линейная алгебра работает под капотом всех современных систем автоматизированного проектирования (ANSYS, SolidWorks, COMSOL).

Когда мы проектируем крыло самолета, опоры моста или корпус ядерного реактора, нам необходимо точно знать, как материал будет сопротивляться деформации под действием нагрузок. В отличие от силы, которая описывается простым вектором, внутренние напряжения в твердом теле распределяются во всех направлениях сложным образом. На каждую грань микроскопического кубика внутри металла действуют как нормальные силы (растяжение/сжатие), так и касательные (сдвиг). Для математического описания этой трехмерной паутины сил Огюстен Луи Коши создал Тензор напряжений — фундаментальный объект линейной алгебры. Тензорное исчисление переводит сложные физические законы Гука в форму матричных уравнений, где поиск разрушающих нагрузок сводится к классической спектральной задаче.