Когда нам нужно подсчитать количество объектов, обладающих определенными свойствами, мы часто сталкиваемся с проблемой пересечений. Если в классе из 30 человек 20 изучают английский язык, а 15 — немецкий, мы не можем просто сложить 20 и 15 (получится 35, что больше числа учеников). Некоторые ученики изучают оба языка, и при простом сложении мы посчитали их дважды. Для решения таких задач в комбинаторике используется мощнейший инструмент — формула включений-исключений.

Магические квадраты, в которых суммы чисел по строкам и столбцам совпадают, были известны еще в Древнем Китае. Однако в дискретной математике гораздо большее значение имеет родственная структура — Латинский квадрат. Это таблица размером N на N, заполненная N различными символами таким образом, что каждый символ встречается в каждой строке и в каждом столбце ровно один раз. Интуитивно каждый из нас знаком с этой структурой благодаря популярной японской головоломке Судоку.

В 1930 году выдающийся британский математик и философ Фрэнк Пламптон Рамсей опубликовал работу, которая породила совершенно новый раздел комбинаторики. Теория Рамсея изучает условия, при которых в достаточно большой структуре (например, графе или последовательности чисел) с математической неизбежностью возникает определенный порядок, как бы мы ни пытались этот порядок разрушить. Девиз этой теории можно сформулировать так: «Абсолютный хаос невозможен».