Системы массового обслуживания с отказами: формула Эрланга и телекоммуникации

Математическая модель системы с отказами в нотации Кендалла обозначается как M/M/c/c (или M/G/c/c). В этой системе имеется строго ограниченное число параллельных каналов обслуживания (c). Входящий поток заявок является простейшим (пуассоновским) с интенсивностью лямбда. Если прибывающая заявка застает хотя бы один свободный канал, она немедленно принимается к обслуживанию, которое длится случайное время со средним значением 1/мю. Но если в момент прибытия заявки все c каналов уже заняты, заявка мгновенно получает отказ и безвозвратно покидает систему, не оказывая на нее в дальнейшем никакого влияния. Главной задачей исследования операций в таких системах является точный расчет вероятности отказа (вероятности блокировки) — доли клиентов, которые будут потеряны для бизнеса.

Для вычисления этой вероятности Эрланг разработал аппарат марковских процессов гибели и размножения, но с одним жестким ограничением: граф состояний обрывается на состоянии c, так как система физически не может вместить больше заявок. Решая систему дифференциальных уравнений Колмогорова для стационарного режима, Эрланг получил свою знаменитую Первую формулу Эрланга (или формулу B-Эрланга). Эта аналитическая формула выражает вероятность отказа через интенсивность предложенной нагрузки (a = лямбда / мю) и количество каналов (c). Потрясающим свойством формулы Эрланга является то, что, согласно теореме Севастьянова, она абсолютно справедлива для любого закона распределения времени обслуживания (не только экспоненциального), что делает ее невероятно универсальным инструментом в инженерии.

Практическое применение формулы B-Эрланга носит характер строгой финансовой оптимизации. Инженеры сотовой связи и проектировщики колл-центров сталкиваются с нелинейной зависимостью между числом серверов и пропускной способностью. Увеличение числа базовых станций стоит огромных денег. Если оператор связи хочет гарантировать качество обслуживания (Quality of Service, QoS) на уровне не более 1 процента потерянных вызовов в часы пик, он подставляет планируемую нагрузку в формулу Эрланга и математически точно вычисляет минимально необходимое количество каналов. Эвристический подход здесь не работает: из-за нелинейности формулы удвоение числа каналов может снизить вероятность отказа не в два раза, а в десятки раз, что демонстрирует огромный синергетический эффект от объединения ресурсов (эффект масштаба в ТМО).

Развитие идей Эрланга привело к созданию моделей для систем с ограниченным ожиданием (формула C-Эрланга), где очередь допустима, но клиенты уходят, если не дождались ответа за определенное время. Кроме того, современные исследования операций расширили модель на системы многоадресной маршрутизации и коммутации пакетов в сетях 5G. Несмотря на появление сверхсложных имитационных моделей и нейросетей, изящная алгебраическая формула, выведенная датским математиком более ста лет назад для телефонных коммутаторов, до сих пор встроена в ядро каждого маршрутизатора на планете, управляя распределением терабайтных потоков данных в глобальной сети Интернет.