Системы массового обслуживания с нетерпеливыми клиентами: модели отказов и ухода из очереди

Математическое моделирование явления отказа от присоединения к очереди (Balking) реализуется через введение вероятности присоединения, зависящей от состояния системы. Интенсивность входящего потока (лямбда) перестает быть константой. Она заменяется на функцию лямбда_n, которая убывает с ростом длины очереди n. Например, вероятность того, что клиент встанет в очередь, может убывать обратно пропорционально числу людей перед ним, или падать до нуля, как только очередь достигает физического предела видимости (отказ от захода в переполненный ресторан). В терминах графа состояний марковского процесса это означает, что стрелки, ведущие вправо (увеличение очереди), становятся все тоньше по мере продвижения по графу, что автоматически стабилизирует систему даже при пиковых скачках спроса.

Гораздо более сложным для аналитического описания является процесс ухода из уже занятой очереди (Reneging). Для его моделирования предполагается, что каждая заявка в очереди имеет собственный случайный таймер терпения. Если время ожидания превышает значение этого таймера, заявка покидает систему навсегда. Чаще всего время терпения моделируется экспоненциальным распределением с интенсивностью гамма (где 1/гамма — среднее время, которое клиент готов ждать). Это означает, что если в очереди стоит n человек, то интенсивность «утекания» клиентов из очереди пропорциональна количеству стоящих в ней людей (n * гамма). В графе состояний эта интенсивность прибавляется к интенсивности обслуживания (мю), что радикально изменяет формулы для стационарных вероятностей.

Венцом исследования систем с нетерпеливыми клиентами стала модель Erlang-A (где буква A означает Abandonment — отказ), также известная как модель Пальма. В отличие от жесткой модели Erlang-B (где мест в очереди нет вообще) и идеалистичной Erlang-C (где терпение бесконечно), модель Erlang-A описывает реальный компромисс. Аналитическое решение этой модели требует использования неполных гамма-функций. Главным практическим результатом применения Erlang-A является возможность вычисления точной вероятности того, что клиент бросит трубку, что напрямую связано с главным KPI любого колл-центра — уровнем обслуживания (Service Level) и долей потерянных вызовов (Abandon Rate).

Для практического применения этих сложных дифференциальных моделей инженеры используют так называемое правило квадратного корня для персонала (Square-Root Staffing Rule), основанное на асимптотическом режиме Хальфина-Уитта (Halfin-Whitt regime). Это правило позволяет мгновенно рассчитать необходимое число операторов: оно должно быть равно математическому ожиданию поступающей нагрузки (лямбда / мю) плюс некоторый запас прочности, пропорциональный квадратному корню из этой нагрузки. Коэффициент пропорциональности зависит от допустимого уровня нетерпения клиентов. Это алгебраическое правило доказало, что крупные колл-центры обладают гигантским эффектом масштаба: при слиянии двух центров можно существенно сократить персонал без увеличения числа недовольных, бросивших трубку клиентов.