Сетевое планирование в условиях неопределенности: стохастические сети GERT и анализ рисков

Математический аппарат сетей GERT кардинально отличается от классических графов тем, что включает стохастические логические узлы и позволяет использовать петли обратной связи. Каждая дуга (работа) в сети GERT описывается не только временем ее выполнения (вероятностным распределением), но и дискретной вероятностью того, что эта работа вообще будет когда-либо начата. Узлы в графе GERT наделены сложной внутренней логикой входа и выхода. На входе узел может работать как эксклюзивное ИЛИ (узел срабатывает, когда завершена любая из входящих работ), включающее ИЛИ или строгое И (узел ждет завершения всех входящих ветвей). На выходе узел может инициировать все последующие работы (детерминированный выход) или выбрать строго одну из исходящих дуг на основе заданных вероятностей (вероятностный выход).

Интеграция вероятности выполнения и времени выполнения работы достигается путем введения специального математического инструмента — W-функции (или эквивалентной передаточной функции). W-функция дуги представляет собой произведение вероятности реализации этой дуги на производящую функцию моментов (или преобразование Лапласа-Стилтьеса) распределения времени ее выполнения. Эта алгебраическая трансформация переводит сложнейшую задачу свертки вероятностных плотностей из временной области в частотную (домен Лапласа), где интегралы заменяются простыми операциями умножения и сложения, превращая анализ сложной сети в расчет эквивалентного электрического сопротивления.

Главный прорыв при анализе GERT-сетей достигается применением топологического правила Мейсона, заимствованного из теории графов прохождения сигналов в радиоэлектронике. Поскольку сеть может содержать циклы (например, деталь отправляется на доработку с вероятностью 20 процентов, причем этот цикл может повторяться многократно), прямой расчет времени невозможен. Правило Мейсона позволяет алгебраически вывести единую эквивалентную W-функцию для всей гигантской сети в целом, от начального до конечного узла, учитывая все возможные петли обратной связи и все вероятности ветвлений. Знаменатель формулы Мейсона представляет собой детерминант графа, который математически сворачивает бесконечные ряды повторных испытаний в конечную, аналитически разрешимую дробь.

Получив эквивалентную W-функцию всего проекта, аналитики используют свойства производящих функций моментов для получения критически важных управленческих ответов. Значение эквивалентной W-функции при нулевом параметре дает точную вероятность того, что проект вообще когда-либо будет успешно завершен (например, ракета взлетит, а не будет списана на этапе стендовых испытаний). Первая производная этой функции (оцененная в нуле) дает точное математическое ожидание времени реализации проекта. Вторые производные позволяют вычислить дисперсию и дисперсионные риски. Метод GERT стал венцом исследования операций в космической отрасли и фармацевтике, позволив корпорациям математически точно планировать бюджеты многолетних исследований, где провалы и возвраты на стадию доработки являются не досадной случайностью, а фундаментальным законом индустрии.