Метод анализа иерархий (МАИ) Томаса Саати: математика многокритериального экспертного выбора

Процесс применения МАИ начинается с декомпозиции сложной глобальной проблемы на наглядную многоуровневую древовидную структуру (иерархию). На самой вершине дерева (нулевой уровень) располагается главная цель исследования (например, «Выбор оптимального автомобиля»). На следующем уровне размещаются основные критерии, по которым будет оцениваться выбор (стоимость, надежность, вместимость, престиж). Эти критерии могут разбиваться на более мелкие подкритерии. Наконец, на самом нижнем уровне иерархии располагаются конкретные альтернативы (варианты), из которых нужно сделать выбор (Автомобиль А, Автомобиль Б, Автомобиль В). Структурирование проблемы таким образом позволяет человеческому мозгу сфокусироваться на сравнении лишь малых, локальных фрагментов информации за один шаг.

Суть метода Саати заключается в отказе от прямых балльных оценок. Люди крайне плохо справляются с задачей «взвесьте важность комфорта от 0 до 100». Вместо этого метод использует попарные сравнения. Эксперт берет два критерия и отвечает на простой вопрос: «насколько критерий Х важнее критерия Y для достижения главной цели?». Оценки выставляются по фундаментальной девятибалльной шкале Саати, где 1 означает «равную важность», 3 — «умеренное превосходство», а 9 — «абсолютное превосходство». Если X важнее Y в 5 раз, то Y автоматически менее важен, чем X, и получает обратную оценку 1/5. Результаты этих опросов формируют обратно симметричную квадратную матрицу попарных сравнений для каждого уровня иерархии.

После заполнения матриц в игру вступает аппарат линейной алгебры. Для каждой матрицы попарных сравнений необходимо вычислить локальные веса приоритетов (насколько процентов каждый элемент превосходит остальные). Алгоритм Саати утверждает, что истинные веса скрыты в главном собственном векторе этой матрицы (соответствующем максимальному собственному значению). Вычислив этот нормированный вектор, мы получаем точные алгебраические веса всех критериев. Далее та же самая процедура попарных сравнений повторяется для всех альтернатив относительно каждого отдельного критерия. Финальный глобальный рейтинг каждой альтернативы вычисляется путем взвешенного матричного сложения (аддитивной свертки) локальных приоритетов альтернатив с учетом глобальных весов самих критериев.

Гениальность Метод анализа иерархий заключается в наличии встроенного механизма проверки на человеческую глупость и непоследовательность. Эксперты часто ошибаются в своих суждениях: если эксперт сказал, что А важнее Б в 2 раза, а Б важнее В в 3 раза, логика транзитивности требует, чтобы А было важнее В ровно в 6 раз. Если эксперт вдруг заявляет, что В важнее А, матрица становится несогласованной. Аппарат Саати алгебраически оценивает эту ошибку путем расчета Индекса согласованности (Consistency Index, CI), который опирается на отклонение максимального собственного значения матрицы от ее размерности. Если Отношение согласованности (CR) превышает пороговое значение в 0.1 (или 10 процентов), эксперту указывают на логическое противоречие в его ответах и просят пересмотреть анкету, что гарантирует высочайшую достоверность финального управленческого решения.