Классическая модель продавца газет (Newsvendor Model) в стохастическом управлении запасами

Математическая структура модели продавца газет описывает однопериодную систему принятия решений. Торговец (лицо, принимающее решение) должен закупить партию товара объемом Q единиц до начала сезона продаж. Фактический потребительский спрос D является случайной величиной с известной аналитику функцией плотности распределения вероятностей (например, нормальным или распределением Пуассона). В конце периода наступает момент истины, который неминуемо ведет к одному из двух финансовых штрафов. Если закуплено слишком много (Q > D), торговец несет издержки перепроизводства (Cost of Overage) на каждой нераспроданной единице товара (разность между оптовой ценой закупки и ликвидационной стоимостью утилизации). Если закуплено слишком мало (Q < D), торговец несет издержки дефицита (Cost of Underage) в виде упущенной выгоды (разность между розничной ценой продажи и оптовой ценой закупки).

Задача исследования операций сводится к минимизации функции ожидаемых суммарных издержек, которая математически выражается через сумму двух интегралов (или дискретных сумм вероятностей). Первый интеграл подсчитывает математическое ожидание потерь от списания нераспроданных остатков (взвешенное по вероятности низкого спроса). Второй интеграл подсчитывает ожидаемую упущенную маржу (взвешенную по вероятности высокого спроса, превышающего запас Q). Взяв производную этой функции ожидаемых потерь по переменной Q и приравняв ее к нулю, мы получаем условия глобального оптимума.

Аналитическое решение модели продавца газет сводится к поразительно изящной и простой формуле, известной как Критическое отношение (Critical Fractile). Формула гласит: оптимальный объем заказа должен быть таким, чтобы кумулятивная вероятность того, что случайный спрос окажется меньше или равен объему заказа, в точности равнялась отношению издержек дефицита к сумме издержек дефицита и перепроизводства (Cu / (Cu + Co)). Иными словами, если маржа с одной проданной газеты составляет 3 рубля, а убыток от нераспроданной газеты составляет 1 рубль, критическое отношение будет равно 3/4 (или 0.75). Торговец должен посмотреть в статистические таблицы нормального распределения и закупить ровно такое количество газет, которое с вероятностью 75 процентов удовлетворит весь входящий спрос.

Модель продавца газет нашла грандиозное применение в концепции управления доходами (Yield Management, Revenue Management). Авиакомпании ежедневно решают проблему овербукинга (сверхбронирования), используя именно этот математический аппарат. Самолет имеет ограниченное количество мест. Место в улетевшем самолете — это сгоревшая газета. Авиакомпания намеренно продает больше билетов, чем есть кресел в салоне, зная стохастическую вероятность того, что часть пассажиров не явится на рейс (No-shows). Подставляя в критическое отношение стоимость компенсации пассажиру, которому не хватило места (издержки перепроизводства билетов), и маржу от продажи лишнего билета (издержки дефицита загрузки), компьютерные алгоритмы до кресла высчитывают оптимальный лимит овербукинга, максимизируя корпоративную прибыль из математического хаоса человеческих планов.