Стохастическая волатильность: модель Сабо (SABR) и геометрия Пуанкаре

Система уравнений SABR задается как $dF_t = alpha_t F_t^eta dW_t^1$ и $dalpha_t = u alpha_t dW_t^2$ с корреляцией $ ho$. При $eta=1$ эта система изоморфна геометрии Лобачевского. Если рассмотреть пространство состояний (форвардная ставка $F$ и волатильность $alpha$) как верхнюю полуплоскость, то случайное блуждание параметров эквивалентно движению в пространстве с постоянной отрицательной кривизной. Асимптотический вывод формулы подразумеваемой волатильности Патрика Хагана основан на методах WKB (Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна) из квантовой механики, где кратчайший путь между точками определяется геометрией Пуанкаре.

Аналитическая аппроксимация Хагана позволяет мгновенно строить кривую волатильности по страйкам, что сделало модель незаменимой для трейдеров. Модель точно описывает динамику "греков" (чувствительностей), позволяя проводить устойчивое дельта-хеджирование. Важным преимуществом является то, что параметры модели ($alpha, eta, ho, u$) имеют интуитивный экономический смысл, отражая текущую волатильность, наклон и выпуклость рыночного "перекоса" (Skew).

Однако на экстремальных страйках ("глубоко вне денег") асимптотическая формула Хагана может приводить к математическим артефактам, таким как появление отрицательных плотностей вероятностей (арбитраж бабочки). Для устранения этого дефекта современные риск-системы используют точные численные решения уравнения Фоккера-Планка или модифицированные формулы (например, модель ненормального SABR). Изучение SABR демонстрирует, как абстрактные концепции дифференциальной геометрии девятнадцатого века находят прямое практическое применение в алгоритмах высокочастотного финансового инжиниринга.

Список литературы:
1. Hagan P.S. et al. Managing Smile Risk. — Wilmott Magazine, 2002.
2. Labordere P.H. Analysis, Geometry, and Modeling in Finance: Advanced Methods in Option Pricing. — CRC Press, 2008.
3. Куликов А.В. Стохастический анализ процентных рисков. — М.: Макс Пресс, 2015.
Эксперты: Патрик Хаган, Пьер Анри-Лабордер, Риккардо Ребонато.