Метод Лонгстаффа-Шварца (LSM): оценка американских опционов методом Монте-Карло наименьших квадратов

Математическая глубина LSM заключается в решении задачи оптимальной остановки в дискретном времени (бермудская аппроксимация американского опциона) методом обратной индукции (Backward Induction) по траекториям Монте-Карло. Пусть сгенерировано $M$ независимых путей движения базовых активов на временной сетке $t_1, dots, t_N$. На последнем шаге $t_N$ выплата по опциону строго известна. Двигаясь назад к шагу $t_{N-1}$, инвестор должен принять решение в каждом узле: исполнить опцион немедленно и получить внутреннюю стоимость (Immediate Exercise Value) или держать его дальше, рассчитывая на Стоимость продолжения (Continuation Value).

Центральный математический прорыв Фрэнсиса Лонгстаффа и Эдуардо Шварца состоял в том, что стоимость продолжения — условное математическое ожидание будущих дисконтированных денежных потоков относительно текущей цены актива — можно аппроксимировать линейной регрессией по набору базисных функций. В качестве базисных функций обычно выбираются ортогональные полиномы (полиномы Лагерра, Чебышева или Эрмита): $Y approx sum c_i phi_i(X)$. Регрессия строится обычным методом наименьших квадратов (МНК) только по тем траекториям, которые на данном шаге находятся "в деньгах" (так как досрочное исполнение опционов "вне денег" бессмысленно).

Вычислив коэффициенты регрессии $c_i$, алгоритм подставляет текущую цену актива каждого пути в полученный полином, находя индивидуальную стоимость продолжения. Если внутренняя стоимость немедленного исполнения строго больше расчетной стоимости продолжения, траектории присваивается статус "досрочно исполненной", а будущие денежные потоки этого пути перезаписываются текущим выигрышем. Процедура рекурсивно повторяется вплоть до начального момента времени $t_0$. Итоговая цена опциона определяется как среднее арифметическое всех дисконтированных денежных потоков, зафиксированных на оптимальных моментах остановки.

Метод LSM обладает феноменальной гибкостью: он позволяет оценивать американские опционы на десятки базовых активов одновременно (многомерные задачи), легко интегрируется с любыми сложными стохастическими процессами (скачками, стохастической волатильностью) и позволяет рассчитывать "греки" портфеля методом путевых производных (Pathwise derivatives). LSM является стандартом де-факто в риск-системах инвестиционных банков для прайсинга бермудских свопционов и структурированных нот с возможностью досрочного отзыва (Callable notes).

Список литературы:
1. Longstaff F.A., Schwartz E.S. Valuing American Options by Simulation: A Simple Least-Squares Approach. — Review of Financial Studies, 2001.
2. Glasserman P. Monte Carlo Methods in Financial Engineering. — Springer, 2003.
3. Квасьницкий В.Н. Численные методы Монте-Карло в деривативном анализе. — М.: ВШЭ, 2012.
Эксперты: Фрэнсис Лонгстафф, Эдуардо Шварц, Пол Глассерман.