Если модель Локальной волатильности Дюпира решила проблему улыбки волатильности для одного актива, то оценка многомерных деривативов (опционов на корзину акций, индексов или валют) столкнулась с еще более грозным феноменом — Корреляционной улыбкой (Correlation Smile). Эмпирические данные показывают, что корреляция между активами не является константой: она стремительно растет в моменты рыночных обвалов. Модели Локальной корреляции (Local Correlation) стали математическим ответом квантов на необходимость безарбитражного хеджирования дисперсионных свопов и индексных опционов.

Классическая теория оптимального потребления и инвестиций Мертона предполагает, что инвестор может непрерывно ребалансировать свой портфель без каких-либо затрат. Это приводит к математическому парадоксу: траектории броуновского движения имеют бесконечную вариацию, поэтому непрерывное удержание фиксированной доли актива требует бесконечного числа микроскопических сделок. При введении даже минимальных пропорциональных транзакционных издержек классическая теория рушится, и задача переходит в сложнейшую область сингулярного стохастического управления (Singular Stochastic Control).

Классические методы конечных разностей (FDM) отлично справляются с решением одномерных и двумерных параболических уравнений в частных производных (УЧП), возникающих при оценке опционов. Однако при переходе к многомерным задачам (например, опционы на корзину активов) или сложным геометриям граничных условий FDM теряет свою эффективность. Метод Галёркина и Метод конечных элементов (Finite Element Method, FEM) предоставляют мощный математический аппарат функционального анализа для проекционного решения таких уравнений.