Моделирование локальной корреляции: управление рисками корзинных опционов

Математическая основа локальной корреляции заключается в постулировании стохастического дифференциального уравнения для многомерного процесса цены: $dS_i(t) = r S_i(t) dt + sigma_i(t, S_i) S_i(t) dW_i(t)$, где матрица мгновенных корреляций $mathbb{E}[dW_i dW_j] = ho_{ij}(t, S_{index}) dt$ больше не является постоянной, а зависит от текущего состояния рынка, в частности от уровня глобального индекса $S_{index}$. Эта зависимость позволяет алгебраически встроить эффект "заражения" (Contagion): при падении индекса функции $ ho_{ij}$ приближаются к единице.

Важнейшей математической трудностью в многомерных моделях является обеспечение свойства положительной определенности (Positive Definiteness) корреляционной матрицы на каждом шаге симуляции. Если матрица становится отрицательно определенной, разложение Холецкого (необходимое для генерации коррелированных броуновских движений) разрушается. Для решения этой алгебраической задачи Риккардо Ребонато предложил Гиперсферическую параметризацию (Hyperspherical Decomposition). В этом методе элементы корреляционной матрицы $ ho_{ij}$ выражаются через косинусы и синусы углов на $N$-мерной гиперсфере. Оптимизация (калибровка) проводится по этим углам, что автоматически и безусловно гарантирует положительную определенность матрицы $ ho$ без жестких штрафных ограничений.

Калибровка модели локальной корреляции — это сверхсложная обратная задача. Если локальная волатильность калибруется по опционам на индивидуальные акции, то локальная корреляция калибруется по ценам траншей индексных опционов. Математически это требует решения многомерного уравнения Фоккера-Планка для совместной плотности распределения, что аналитически невозможно. Индустрия использует Марковскую проекцию (Markov Projection Method), разработанную Владимиром Питербаргом. Алгоритм Питербарга позволяет проецировать сложный многомерный диффузионный процесс на эффективный одномерный процесс (Индекс), что сводит сложнейшую многомерную калибровку к быстрой процедуре нахождения нулей функции.

Внедрение моделей локальной корреляции радикально изменило рынок экзотических деривативов. Оно объяснило, почему дисперсионные свопы (Variance Swaps) на индекс торгуются значительно дороже, чем взвешенная сумма дисперсионных свопов на его компоненты (Correlation Risk Premium). Математика локальной корреляции вооружает торговые дески (Trading Desks) инструментами для динамического кросс-хеджирования: риска изменения цены акции А с помощью фьючерсов на акцию Б, учитывая точные градиенты их функциональной взаимосвязи в условиях экстремального стресса.

Список литературы:
1. Rebonato R. Volatility and Correlation: The Perfect Hedger and the Fox. — Wiley, 2004.
2. Piterbarg V. Markovian Projection for Volatility Calibration. — Risk Magazine, 2006.
3. Brigo D., Mercurio F., Rapisarda F. Smile-consistent tensor spline implied volatility. — Quantitative Finance, 2004.
Эксперты: Риккардо Ребонато, Владимир Питербарг, Дамиано Бриго.