При математическом моделировании инженерных конструкций (например, контактное взаимодействие деталей в механике), рыночных равновесий и процессов налогообложения исследователи операций регулярно сталкиваются с особым типом логических условий — условиями взаимодополняемости (Complementarity Conditions). Они требуют, чтобы из двух взаимосвязанных неотрицательных переменных хотя бы одна была строго равна нулю. Попытка внедрить такие ограничения в классические задачи оптимизации привела к появлению сложнейшего и неклассического раздела математики — Математического программирования с ограничениями взаимодополняемости (MPEC). Этот класс задач знаменит тем, что он грубо нарушает базовые теоремы оптимизации, делая невозможным прямое применение коммерческих солверов.

При решении задач стохастической оптимизации, байесовского вывода в машинном обучении и оценке финансовых производных аналитикам часто требуется вычислить сложные многомерные интегралы. Классические численные методы (такие как квадратуры Гаусса) терпят полное фиаско в пространствах высокой размерности из-за проклятия размерности. Стандартный метод Монте-Карло, основанный на случайной генерации точек, также становится неэффективным, если область, дающая основной вклад в интеграл, ничтожно мала. Для преодоления этого математического барьера был создан Метод Монте-Карло марковских цепей (MCMC). Этот аппарат позволяет компьютеру интеллектуально сэмплировать (извлекать выборки) из сложнейших, аналитически неразрешимых распределений вероятностей, концентрируя вычислительную мощь именно там, где это математически наиболее важно.

Традиционные марковские модели теории массового обслуживания (такие как формулы Эрланга) базируются на фундаментальном допущении о пуассоновском характере входящего потока заявок. Это допущение подразумевает, что вероятность поступления новой заявки абсолютно не зависит от времени, прошедшего с момента поступления предыдущей (экспоненциальное распределение интервалов). Однако в реальных индустриальных системах — от планирования ремонтов авиационных двигателей до анализа сбоев на конвейерах — интервалы между событиями имеют гораздо более сложную структуру с памятью (например, распределения Вейбулла или Эрланга). Для строгого математического анализа таких немарковских процессов был создан аппарат Теории восстановления (Renewal Theory), вершиной которого стали теоремы Пальма и Хинчина.