Современная промышленность и анимация немыслимы без многосуставных роботизированных манипуляторов. В аналитической геометрии робототехники существуют две фундаментальные задачи. Прямая кинематика отвечает на вопрос: «Где окажется конец манипулятора, если мы зададим углы поворота во всех его суставах?» (задача решается простым перемножением матриц трансформации). Гораздо более сложной является инверсная кинематика (Inverse Kinematics, IK). Она отвечает на обратный вопрос: «На какие углы нужно повернуть каждый сустав робота, чтобы его клешня точно коснулась заданных координат в пространстве?». Решение этой задачи опирается на глубокий геометрический анализ, теорему косинусов и матрицу Якоби.

Аналитическая геометрия исторически использовала для описания вращений в трехмерном пространстве углы Эйлера (крен, тангаж и рыскание) или ортогональные матрицы 3x3. Однако оба эти метода несут в себе фатальные недостатки: матрицы вычислительно громоздки и накапливают ошибки округления, а углы Эйлера страдают от катастрофического явления «шарнирного замка» (gimbal lock), когда при совпадении двух осей вращения теряется одна степень свободы. Идеальным аналитическим выходом стало использование кватернионов — гиперкомплексных чисел, открытых Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1843 году. Сегодня алгебра кватернионов является абсолютным базисом для ориентации космических спутников, расчета кинематики в робототехнике и анимации персонажей в видеоиграх.

Аналитическая геометрия совершила качественный скачок, когда математический аппарат управления одномерными кривыми линиями был обобщен на двумерные поверхности в трехмерном пространстве. Чтобы смоделировать гладкий и обтекаемый корпус корабля или лицо персонажа в компьютерной игре, простых многогранников недостаточно. На помощь приходят поверхности Безье и бикубические патчи. Опираясь на тензорное произведение полиномов, эта геометрическая концепция позволяет натягивать гибкую, математически идеальную «кожу» на каркас из управляющих точек, обеспечивая непрерывную кривизну и потрясающую визуальную реалистичность.