Древние греки доказали, что в трехмерном мире существует ровно пять правильных выпуклых многогранников (Платоновых тел): тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Но что произойдет, если мы добавим четвертое, пятое или десятое пространственное измерение? Аналитическая геометрия позволяет исследовать эти многомерные фигуры (политопы) с помощью матриц и векторов, не полагаясь на человеческое зрение. Изучение граней, ребер и гиперплоскостей многомерных правильных политопов открыло поразительные симметрии математической вселенной и создало геометрический базис для алгоритмов линейного программирования (симплекс-метода) в современной экономике.

Когда мы переходим от изучения отдельных поверхностей к анализу свойств всего пространства как единого целого (например, при моделировании формы Вселенной), математики фокусируются на пространствах с максимальной симметрией. Пространства, в которых нет выделенных «особых» точек, а геометрия в каждой точке абсолютно идентична геометрии в любой другой точке, называются гомогенными (однородными) многообразиями. Аналитическая дифференциальная геометрия строго доказывает, что в трехмерном мире существует всего три фундаментальных типа изотропных пространств постоянной Гауссовой кривизны: плоское евклидово пространство, гиперболическая геометрия Лобачевского и сферическая геометрия Римана.

В обыденном понимании узел — это завязанная веревка с двумя концами. В аналитической геометрии и топологии узел определяется как замкнутая, несамопересекающаяся кривая, вложенная в трехмерное евклидово пространство (или трехмерную сферу). Главная задача теории узлов — научиться строго математически отличать одни узлы от других. Как доказать компьютеру, что два узла, выглядящие совершенно по-разному на чертежах, на самом деле можно распутать друг в друга без разрезания кривой? Для решения этой топологической проблемы математики разработали мощный аналитический аппарат полиномиальных инвариантов, превратив хитросплетения кривых в строгие матричные алгоритмы.