Численное решение интегральных уравнений: методы Фредгольма и Вольтерры
Когда неизвестная функция скрыта под знаком интеграла
В курсах высшей математики основное внимание обычно уделяется дифференциальным уравнениям, где искомая функция связана со своими производными. Однако в физике и инженерии существует не менее важный класс задач, описываемых интегральными уравнениями. В таких уравнениях неизвестная функция находится под знаком определенного интеграла. Интегральные уравнения естественно возникают в задачах теории упругости (контактные задачи), электродинамике (расчет антенн), теории переноса излучения (в астрофизике и ядерных реакторах) и в обратных задачах восстановления сигналов.
Интегральные уравнения принято классифицировать по двум признакам. Если пределы интегрирования фиксированы (постоянны), то это уравнение Фредгольма. Если верхний предел является переменной интегрирования (то есть интеграл зависит от текущего положения), то это уравнение Вольтерры, описывающее процессы эволюции с памятью. Если неизвестная функция находится только под знаком интеграла, это уравнение первого рода; если она присутствует еще и вне интеграла — это уравнение второго рода. Как и в случае с ОДУ, аналитически решить интегральные уравнения удается лишь в редких частных случаях, что делает применение численных методов абсолютно необходимым.
Метод квадратур: сведение к СЛАУ
Самым прямым и универсальным подходом к решению интегральных уравнений Фредгольма второго рода является метод квадратур. Идея этого метода базируется на классическом численном интегрировании, которое мы обсуждали ранее. Интеграл, содержащий неизвестную функцию, приближенно заменяется конечной суммой — квадратурной формулой (например, по правилу трапеций или Симпсона) на дискретной сетке узлов.
В результате такой дискретизации исходное непрерывное уравнение для бесконечного числа точек превращается в систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных значений функции в узлах сетки. Матрица этой СЛАУ, как правило, является плотной (полностью заполненной ненулевыми элементами), так как интегральный оператор связывает все точки области (глобальное взаимодействие). Решив эту плотную СЛАУ стандартным методом Гаусса или QR-разложением, мы получаем приближенные значения искомой функции в узлах. Точность метода напрямую зависит от плотности сетки и порядка используемой квадратурной формулы.
Метод последовательных приближений (итерации Пикара)
Альтернативным подходом, который не требует формирования и обращения огромных матриц, является метод последовательных приближений (или метод итераций). Этот подход математически эквивалентен построению резольвенты и тесно связан с теоремой о сжимающих отображениях.
Процедура начинается с выбора начального приближения для неизвестной функции (часто за него берут просто свободный член уравнения). Затем это приближение подставляется под знак интеграла. Вычислив интеграл (обычно численно), мы получаем новое, уточненное значение функции. Это новое значение снова подставляется в интеграл, и процесс повторяется. Метод последовательных приближений особенно эффективен для уравнений Вольтерры, где он гарантированно сходится для любых непрерывных функций. В случае уравнений Фредгольма сходимость наступает только в том случае, если норма так называемого ядра интегрального уравнения (функции, связывающей две переменные под интегралом) достаточно мала. Итерационные методы широко применяются в задачах теории рассеяния в квантовой механике.