Спектральная теория квадратных матриц неразрывно связана с изучением корней характеристического многочлена (собственных значений). Вычисление этих корней — задача аналитически неразрешимая для матриц размером больше 4x4 (согласно теореме Абеля-Руффини), однако алгебра позволяет извлекать исчерпывающую информацию о спектре, даже не зная самих числовых корней. Для этого используется аппарат элементарных симметричных полиномов и формул Ньютона-Жирара. Эти классические инструменты алгебры XVI века оказались универсальным ключом к алгоритмам вычисления следов матричных степеней, нахождения определителей и анализа устойчивости многомерных линейных систем автоматического управления без использования метода Гаусса.

В теории матриц определитель (детерминант) является главной алгебраической характеристикой невырожденности системы. Однако для особого геометрического класса матриц — кососимметричных (где A = -A^T) — определитель обладает уникальной алгебраической избыточностью. В середине XIX века немецкий математик Иоганн Фридрих Пфафф доказал теорему, гласящую, что определитель любой кососимметричной матрицы четного порядка всегда является точным полным квадратом некоего многочлена от ее элементов. Этот фундаментальный многочлен получил название Пфаффиан (Pfaffian). Изучение пфаффианов переводит линейную алгебру на территорию комбинаторики совершенных паросочетаний и играет критическую роль в статистической механике и топологических вычислениях.

Традиционная линейная алгебра и анализ строятся над полями вещественных или комплексных чисел, которые подчиняются правилу коммутативности (a*b = b*a). Однако в квантовой теории поля, при попытке математически описать фермионы (такие как электроны или кварки), физики столкнулись с непреодолимым барьером. Фермионы подчиняются принципу запрета Паули (антикоммутируют), и для их матричного описания потребовалось расширить понятие самого числа. Так в физику вошли числа Грассмана — антикоммутирующие алгебраические элементы. Внедрение этих переменных потребовало создания совершенно новой суперматематики, венцом которой стал интеграл Березина — фантастический аппарат, в котором операции дифференцирования и интегрирования матриц тождественны друг другу.