Одной из самых коммерчески успешных задач прикладной линейной алгебры стало создание коллаборативных рекомендательных систем. В 2006 году компания Netflix объявила конкурс с призом в миллион долларов за улучшение алгоритма предсказания оценок фильмов. Победителем стал подход, основанный на матричной факторизации (Matrix Factorization). Суть проблемы заключается в том, что имеется гигантская матрица «пользователь-фильм», где строки — это миллионы пользователей, столбцы — десятки тысяч фильмов, а на пересечениях стоят оценки. Эта матрица колоссально разрежена: 99% ячеек пусты, так как человек смотрит лишь крошечную долю фильмов. Классическое сингулярное разложение (SVD) здесь неприменимо из-за пустых ячеек, поэтому математикам пришлось разработать новый алгебраический аппарат скрытых факторов.

Передача цифровых данных через интернет, хранение файлов на жестких дисках и связь с космическими аппаратами подвержены электромагнитным шумам, которые искажают биты информации (превращая 0 в 1 и наоборот). Для решения этой проблемы Ричард Хэмминг и Клод Шеннон создали теорию кодов, исправляющих ошибки. Современная теория помехоустойчивого кодирования (Linear Block Codes) — это чистейшая прикладная линейная алгебра, работающая в пространствах над конечным полем Галуа GF(2). В этом дискретном мире нет непрерывных метрик, матрицы состоят только из нулей и единиц, а сложение эквивалентно логической операции XOR. Правильное конструирование и умножение таких матриц позволяет электронике мгновенно находить и исправлять ошибки на аппаратном уровне.

В базовом курсе квантовой механики состояния частиц описываются волновыми функциями (кет-векторами в гильбертовом пространстве). Однако такой подход описывает лишь «чистые» состояния изолированных систем. В реальных физических экспериментах мы всегда имеем дело со статистическими ансамблями (толпами частиц) или с подсистемами, которые квантово запутаны с окружающей средой. Для описания таких смешанных, неопределенных состояний классического вектора недостаточно. В 1927 году Лев Ландау и Джон фон Нейман независимо друг от друга ввели в физику потрясающий математический объект — матрицу плотности (оператор плотности). Изучение матриц плотности является вершиной применения линейной алгебры в квантовой термодинамике и квантовых компьютерах.