Эллиптическое ДУ: ∑ ∂_i (a^{ij} ∂_j u) + b^i ∂_i u + c u = f. Регулярность: u∈H^1 ⇒ u∈C^∞ при гладких коэффициентах. Априорные оценки: ||u||_{H^{k+1}} ≤ C(||f||_{H^{k-1}} + ||u||_{L^2}). Основа теории слабых решений эллиптических задач. (398 символов)
Гиперболическая система ∂_t U + A^i ∂_i U = F гиперболична при вещественных собственных значениях A^i и полных собственных векторах. Характеристики dx/dt=λ_k — неразрывности решений. Метод характеристик, Рiemann инварианты. Основа теории ударов и нелинейных волн. (418 символа)
(k,l)-тензор T^{i_1...i_k}_{j_1...j_l} преобразует по правилу T' = (∂x'^p/∂x^i) ... (∂x^j/∂x'^q) T. Ковариантная производная ∇_k T^i_j = ∂_k T^i_j + Γ^i_{km} T^m_j - Γ^m_{kj} T^i_m. Торсия T^k_{ij} = Γ^k_{ij}-Γ^k_{ji}, кривизна R как коммутатор ∇. Основа общей теории относительности. (432 символа)
Закон больших чисел утверждает, что среднее арифметическое частот независимых испытаний с одинаковой вероятностью сходится к математическому ожиданию. Слабая форма по Чебышеву, сильная по Колмогорову почти наверное. Это обосновывает надежность статистических оценок.
Теорема Байеса P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B) позволяет корректировать вероятности на основе новой информации. Формулировка Томаса Байеса (1763) лежит в основе байесовской статистики и машинного обучения. Она связывает априорные вероятности с данными для получения апостериорных оценок.
Теория вероятностей изучает закономерности случайных явлений, возникнувшая в XVII веке из анализа азартных игр. Классическое определение вероятности события A в равновозможных случаях равно отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Это фундаментальный подход, позволяющий рассчитывать шансы в простых экспериментах вроде подбрасывания монеты или броска кубика.
Центральная предельная теорема (ЦПТ) утверждает, что сумма независимых случайных величин, нормированная, сходится к нормальному распределению при n→∞ независимо от исходного закона.
Теорема Байеса P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B) обновляет вероятности на основе новых данных, революционизируя статистику. Формулирована Томасом Байесом в XVIII веке, применяется в машинном обучении и медицине.
Биномиальное распределение описывает вероятность успеха в серии независимых испытаний Бернулли с фиксированным числом попыток n и вероятностью успеха p. Эта модель лежит в основе многих статистических приложений, от контроля качества до финансового моделирования. Формула вероятности P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k) позволяет точно рассчитывать шансы на k успехов.
