Аналитическая геометрия исторически использовала для описания вращений в трехмерном пространстве углы Эйлера (крен, тангаж и рыскание) или ортогональные матрицы 3x3. Однако оба эти метода несут в себе фатальные недостатки: матрицы вычислительно громоздки и накапливают ошибки округления, а углы Эйлера страдают от катастрофического явления «шарнирного замка» (gimbal lock), когда при совпадении двух осей вращения теряется одна степень свободы. Идеальным аналитическим выходом стало использование кватернионов — гиперкомплексных чисел, открытых Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1843 году. Сегодня алгебра кватернионов является абсолютным базисом для ориентации космических спутников, расчета кинематики в робототехнике и анимации персонажей в видеоиграх.

Аналитическая геометрия совершила качественный скачок, когда математический аппарат управления одномерными кривыми линиями был обобщен на двумерные поверхности в трехмерном пространстве. Чтобы смоделировать гладкий и обтекаемый корпус корабля или лицо персонажа в компьютерной игре, простых многогранников недостаточно. На помощь приходят поверхности Безье и бикубические патчи. Опираясь на тензорное произведение полиномов, эта геометрическая концепция позволяет натягивать гибкую, математически идеальную «кожу» на каркас из управляющих точек, обеспечивая непрерывную кривизну и потрясающую визуальную реалистичность.

Кривые Безье произвели революцию в компьютерном дизайне, но они обладали двумя существенными недостатками: изменением положения одной контрольной точки деформировалась вся кривая целиком (отсутствие локального контроля), а степень полинома жестко привязывалась к количеству опорных точек. Для решения этих проблем математики разработали базисные сплайны (B-сплайны) и их венец — неоднородные рациональные B-сплайны (NURBS). Сегодня алгоритмы NURBS являются абсолютным мировым стандартом в аналитической геометрии систем автоматизированного проектирования (CAD), позволяя с идеальной точностью описывать как свободные органические формы, так и строгие геометрические примитивы.

Аналитическая геометрия классически изучает кривые через их локальные свойства: касательные, фокусы и кривизну. Однако при переходе к комплексным числам плоские алгебраические кривые раскрывают свою истинную, глобальную топологическую природу. Каждая алгебраическая кривая на комплексной проективной плоскости в действительности представляет собой замкнутую двумерную поверхность в четырехмерном пространстве (Риманову поверхность). Топология таких поверхностей полностью описывается одним единственным целым числом — родом (количеством «дыр» или «ручек»). Анализ связи между алгебраической степенью многочлена кривой и ее топологическим родом является одной из величайших вершин математики.