Критерий d'Аламбера: ряд Σ a_n сходится при lim |a_{n+1}/a_n| = L < 1. Критерий Коши: сходится при lim sup |a_{n+1}/a_n|^{1/n} = ρ < 1 (радиус сходимости степенных рядов). Эти тесты определяют область сходимости функциональных рядов и численных последовательностей. (356 символов)

Ряд Фурье f(x) = a_0/2 + Σ (a_n cos nx + b_n sin nx) разлагает периодическую функцию с периодом 2π на тригонометрические гармоники. Коэффициенты a_n = (1/π)∫_{-π}^π f(x) cos nx dx, b_n = (1/π)∫ f(x) sin nx dx. Метод основан на ортогональности тригонометрической системы. (368 символов)

Ряд Тейлора f(x) = Σ_{n=0}^∞ f^{(n)}(a)/n! (x-a)^n представляет функцию полиномом в окрестности точки a. Формула Маклорена — частный случай при a=0. Остаточный член R_n(x) оценивает точность аппроксимации. Ряды позволяют аналитически продолжать элементарные функции и численно вычислять значения. (342 символа)