Традиционные алгоритмы вычислительной линейной алгебры (такие как сингулярное разложение или QR-факторизация) требуют кубического времени выполнения, что делает их абсолютно неприменимыми для обработки современных массивов данных петабайтного масштаба. В ответ на этот вызов математики создали совершенно новую парадигму — Рандомизированную вычислительную линейную алгебру (RandNLA). Вместо точных, детерминированных, но бесконечно долгих вычислений, этот подход использует законы теории вероятностей для нахождения потрясающе точных аппроксимаций за долю секунды. RandNLA лежит в основе алгоритмов машинного обучения корпоративного уровня, позволяя мгновенно сжимать матрицы, находить главные компоненты и решать переопределенные системы огромной размерности.

Обычно мы рассматриваем многочлены (полиномы), корнями которых являются числа, а коэффициентами — скаляры. В теореме Кэли-Гамильтона мы подставляем матрицу в скалярный многочлен. Но в механике сплошных сред, теории вибраций, акустике и квантовой физике возникает совершенно иной математический объект — матричные многочлены. У матричного многочлена коэффициентами (а иногда и самой неизвестной переменной) выступают квадратные матрицы. Самым важным из них является квадратичный матричный многочлен, описывающий затухающие колебания конструкций (мостов, небоскребов, крыльев самолетов). Линейная алгебра матричных многочленов, глубоко разработанная Питером Ланкастером, требует принципиально новых понятий латентных корней и нелинейной линеаризации.

В классической евклидовой геометрии понятие угла между двумя пересекающимися прямыми или между прямой и плоскостью интуитивно понятно и вычисляется через простое скалярное произведение. Но как математически строго измерить «близость» или «угол» между двумя пятимерными гиперплоскостями в стомерном пространстве? Для решения этой сложнейшей топологической задачи французский математик Камиль Жордан в 1875 году ввел понятие главных (канонических) углов. Главные углы между подпространствами обобщают понятие скалярного произведения на объекты любой размерности, выступая мощнейшим инструментом в компьютерном зрении, отслеживании движущихся объектов, машинном обучении и статистическом корреляционном анализе.

Традиционная линейная алгебра изучает функции одного векторного аргумента (линейные операторы) или двух векторных аргументов (билинейные формы). Однако современная математика и теоретическая физика требуют инструментов для работы с функциями произвольного числа векторных аргументов. Этот раздел математики называется многолинейной алгеброй. Она обобщает понятие линейности на любое количество измерений, создавая конструкции, называемые градуированными алгебрами. Через операции тензорного, симметричного и внешнего произведений многолинейная алгебра объясняет фундаментальные различия между физическими частицами, алгебраическую геометрию многочленов и топологические свойства многообразий.