Когда данные имеют сверхвысокую размерность и нелинейную природу (например, форма молекул белка в биоинформатике, структура космической паутины галактик или данные с датчиков мозговой активности), традиционные статистические методы классификации дают сбой. Данные — это не просто числа, данные имеют «форму». Извлечением геометрической структуры (дыр, туннелей, пустот) из хаотичных облаков точек занимается Топологический анализ данных (Topological Data Analysis, TDA). Вычислительным ядром TDA являются персистентные гомологии — метод, который переводит абстрактную алгебраическую топологию на язык матриц над конечными полями Галуа, превращая вычисление многомерных геометрических пустот в простую процедуру гауссова исключения.

При изучении линейной алгебры в университете мы привыкаем, что числа внутри векторов и матриц являются вещественными или комплексными, а их количество бесконечно. Однако аксиоматика векторных пространств абсолютно не требует непрерывности. Французский математик Эварист Галуа показал, что можно строить безупречную алгебру над конечными полями (наборами, состоящими из строго ограниченного количества чисел), где операции сложения и умножения выполняются по модулю (как на циферблате часов). Векторные пространства над полями Галуа (GF) кардинально отличаются от евклидовых: в них нет понятий «больше» или «меньше», нет расстояний и углов, но именно эта дискретная линейная алгебра является математической броней современного интернета, обеспечивая работу криптографии и кодов, исправляющих ошибки.