Метод моментов в электродинамике (MoM): численное решение интегральных уравнений
Как рассчитать антенну мобильного телефона?
В мире вычислительной электродинамики, помимо дифференциальных сеточных методов вроде FDTD (Метод конечных разностей во временной области), существует мощнейший альтернативный класс численных алгоритмов. Когда инженерам необходимо спроектировать сложную проволочную антенну (как на Wi-Fi роутере), рассчитать эффективную площадь рассеяния (ЭПР) истребителя-невидимки или спроектировать микрополосковую плату смартфона, классические 3D-сетки FDTD оказываются крайне неудобными. Моделирование тонких проводов толщиной в доли миллиметра в свободном безграничном пространстве требует слишком мелкой объемной сетки и абсурдного расхода памяти.
В этих случаях индустрия обращается к интегральной формулировке уравнений Максвелла. Физическая суть этой формулировки заключается в законе Био-Савара-Лапласа и потенциалах: электрические токи, текущие по металлическим поверхностям антенны, излучают электромагнитное поле. Интегральное уравнение (например, EFIE — уравнение электрического поля) связывает неизвестное распределение токов на поверхности металла с заданным падающим возбуждающим полем (например, от кабеля питания). Для численного решения этого интегрального уравнения в 1968 году Роджер Харрингтон формализовал универсальный алгоритм, названный Методом моментов (Method of Moments, MoM).
От физического интеграла к матрице сопротивлений
Метод моментов по своей математической философии является проекционным методом взвешенных невязок (братом-близнецом метода Галеркина). Процесс начинается с того, что неизвестная функция плотности поверхностного тока раскладывается в линейную комбинацию базисных функций с неизвестными коэффициентами. Для расчета поверхностей чаще всего применяются базисные функции Рао-Вилтона-Глиссона (RWG), которые определены на треугольной сетке и гарантируют непрерывность перетекания электрического заряда между треугольниками, предотвращая появление фиктивных зарядов на ребрах.
Затем интегральное уравнение умножается на весовые (тестовые) функции и интегрируется по всей поверхности детали. В результате этой математической операции бесконечномерное интегральное уравнение превращается в плотную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): [Z] * [I] = [V]. В этой формуле вектор [I] — это неизвестные токи, вектор [V] — напряжения (возбуждение), а гигантская матрица [Z] имеет глубочайший физический смысл. Она называется обобщенной матрицей взаимных импедансов (сопротивлений). Каждый элемент этой матрицы описывает электромагнитное влияние (излучение) одной базисной функции тока на другую через открытое пространство.
Сингулярности функции Грина и открытое пространство
Вычисление элементов матрицы импедансов [Z] является самой сложной и ресурсоемкой частью Метода моментов. Внутри интегралов содержится функция Грина свободного пространства (ядро интегрального оператора), которая имеет вид exp(-ikr)/r. Эта функция обратно пропорциональна расстоянию (r) между током источника и точкой наблюдения. Если мы вычисляем самовоздействие элемента (то есть расстояние r стремится к нулю), функция уходит в бесконечность!
Попытка вычислить такой сингулярный интеграл обычным методом Гаусса даст математический мусор. Инженерам приходится использовать специальные аналитические методы выделения особенности для точного вычисления диагональных элементов матрицы. Огромным, неоспоримым преимуществом MoM является то, что этот алгоритм автоматически и идеально строго учитывает условие излучения Зоммерфельда на бесконечности. Волна беспрепятственно улетает в космос, и алгоритму не нужны никакие искусственные поглощающие слои (PML) на границах расчетной области. Сегодня алгоритм MoM (часто ускоренный Быстрым мультипольным методом FMM для борьбы с плотной матрицей) лежит в основе ведущих радиотехнических САПР, таких как Altair FEKO и CST Microwave Studio.