Когда мы переходим от изучения отдельных поверхностей к анализу свойств всего пространства как единого целого (например, при моделировании формы Вселенной), математики фокусируются на пространствах с максимальной симметрией. Пространства, в которых нет выделенных «особых» точек, а геометрия в каждой точке абсолютно идентична геометрии в любой другой точке, называются гомогенными (однородными) многообразиями. Аналитическая дифференциальная геометрия строго доказывает, что в трехмерном мире существует всего три фундаментальных типа изотропных пространств постоянной Гауссовой кривизны: плоское евклидово пространство, гиперболическая геометрия Лобачевского и сферическая геометрия Римана.

В обыденном понимании узел — это завязанная веревка с двумя концами. В аналитической геометрии и топологии узел определяется как замкнутая, несамопересекающаяся кривая, вложенная в трехмерное евклидово пространство (или трехмерную сферу). Главная задача теории узлов — научиться строго математически отличать одни узлы от других. Как доказать компьютеру, что два узла, выглядящие совершенно по-разному на чертежах, на самом деле можно распутать друг в друга без разрезания кривой? Для решения этой топологической проблемы математики разработали мощный аналитический аппарат полиномиальных инвариантов, превратив хитросплетения кривых в строгие матричные алгоритмы.

Классическая аналитическая геометрия изучает тензоры и векторы, которые описывают стрелки в пространстве. При повороте системы координат на 360 градусов любой вектор возвращается в исходное состояние. Долгое время считалось, что других геометрических объектов не существует. Однако в 1913 году Эли Картан чисто алгебраическим путем открыл объекты, которые преобразуются по совершенно иным законам — спиноры. Чтобы спинор вернулся в исходное состояние, пространство нужно повернуть на 720 градусов (два полных оборота)! Позже физик Поль Дирак переоткрыл эти математические структуры для описания электронов. Изучение геометрии спиноров перевернуло наши представления о структуре трехмерного пространства и квантовой механики.

Классический векторный анализ в трехмерном пространстве опирается на операции градиента, ротора и дивергенции. Однако при переходе к пространствам высших размерностей или искривленным многообразиям эта система координат начинает разрушаться, так как ротор существует только в 3D. Для создания универсального математического языка французский геометр Эли Картан разработал теорию внешних дифференциальных форм. Этот алгебро-геометрический аппарат объединяет интегральное исчисление, векторную алгебру и топологию, позволяя записывать сложнейшие физические законы (например, уравнения Максвелла) в виде изящных, координатно-независимых матричных выражений.