Унитарные матрицы и квантовые вычисления: алгебра кубитов

Векторное пространство гильбертова пространства

В квантовой информатике классические состояния бита (0 и 1) представляются в виде двух базисных ортонормированных векторов, известных в нотации Дирака как кет-векторы |0> и |1>. Состояние одного кубита — это линейная комбинация (сумма) этих базисных векторов: |psi> = a*|0> + b*|1>, где a и b — комплексные числа, называемые амплитудами вероятностей. Согласно законам квантовой физики, сумма квадратов модулей амплитуд должна быть строго равна единице (|a|^2 + |b|^2 = 1). Геометрически это означает, что вектор состояния любого кубита всегда лежит на поверхности многомерной комплексной сферы (сферы Блоха). Многокубитные системы описываются тензорными произведениями пространств, размерность которых растет экспоненциально (2^n для n кубитов), что и обеспечивает колоссальную вычислительную мощь квантовых ЭВМ.

Унитарные операторы как квантовые вентили

Любая операция изменения состояния кубитов в квантовом компьютере должна строго сохранять общую вероятность, равную единице. В терминах линейной алгебры это означает, что матрица квантового вентиля (гейта) U обязана сохранять евклидову норму векторов. Матрицы, удовлетворяющие этому условию над полем комплексных чисел, называются унитарными матрицами (их эрмитово сопряженная матрица совпадает с обратной: U* = U^(-1)). Это фундаментальное ограничение приводит к удивительному следствию: абсолютно все квантовые вычисления являются полностью обратимыми. В отличие от классического вентиля AND, который необратимо стирает информацию (зная результат 0, мы не можем сказать, что было на входе), квантовые алгоритмы не уничтожают информацию. Вектор состояния всегда можно прокрутить назад во времени, применив матрицу U*.

Матрицы Паули и вентиль Адамара

Базовыми строительными блоками квантовых алгоритмов являются простейшие унитарные матрицы 2x2. Матрицы Паули (X, Y, Z) играют роль квантовых аналогов классических вентилей (например, матрица X работает как квантовое НЕ, инвертируя амплитуды). Но самым важным элементом является вентиль Адамара (H). Умножение базового состояния |0> на матрицу Адамара создает идеальную симметричную суперпозицию: кубит переходит в состояние, где с вероятностью 50% он будет нулем и с вероятностью 50% единицей. Применение тензорного произведения матриц Адамара к регистру из n нулевых кубитов мгновенно создает гигантский вектор суперпозиции, содержащий все 2^n возможных вычислительных состояний одновременно. Это явление называется квантовым параллелизмом.

Квантовая запутанность и матрица CNOT

Истинная магия квантовых алгоритмов заключается в запутанности — явлении, когда состояния двух кубитов становятся неразрывно связанными. В линейной алгебре это выражается в том, что вектор состояния системы нельзя представить в виде простого тензорного произведения векторов отдельных кубитов. Главным генератором запутанности является двухкубитный унитарный вентиль CNOT (Controlled-NOT), представляющий собой матрицу размера 4x4. Если пропустить через CNOT два кубита, один из которых находится в суперпозиции, их выходной вектор состояния не поддается факторизации. Измерение одного кубита мгновенно (со скоростью, превышающей скорость света) определит состояние второго. Этот феномен, описываемый матричной алгеброй, лежит в основе алгоритмов квантовой телепортации и абсолютно защищенного квантового распределения ключей.