Любая кривая второго порядка на плоскости описывается полным алгебраическим уравнением: $Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0$. Наличие члена с перекрестным произведением $xy$ означает, что кривая повернута относительно осей координат, а наличие линейных членов $x$ и $y$ означает, что ее центр смещен. Приведение этого уравнения к простому каноническому виду требует вычисления тригонометрических углов и громоздких подстановок. Однако аналитическая геометрия предлагает более изящный метод классификации, не требующий преобразования самого уравнения. Этот метод опирается на инварианты — алгебраические функции от коэффициентов уравнения, числовые значения которых абсолютно не изменяются при любых поворотах и параллельных переносах осей координат.

Декартова прямоугольная система координат предполагает, что оси строго перпендикулярны, а единичные отрезки на них имеют одинаковую длину. Однако во многих областях науки, таких как кристаллография, теория деформаций сплошных сред и теория косоугольных проекций, жесткие рамки декартовой геометрии становятся неудобными. Аналитическая геометрия предлагает более гибкий математический аппарат — общую аффинную систему координат. В этой системе оси могут пересекаться под любым углом, а масштабы вдоль осей могут быть совершенно независимыми. Изучение аффинных базисов заставляет переосмыслить понятия длины и угла, требуя внедрения мощного алгебраического инструмента — метрического тензора.

При описании плоскостей в трехмерном пространстве аналитическая геометрия предлагает множество алгебраических форм, однако наиболее элегантной и геометрически прозрачной является нормальная форма Гессе. Названная в честь немецкого математика Людвига Отто Гессе, эта форма уравнения избавляет исследователя от неоднозначности общих коэффициентов и переводит задачу на язык нормированных (единичных) векторов. Нормальное уравнение Гессе является абсолютным стандартом в задачах компьютерной 3D-графики и аналитической механики, где требуется миллионы раз в секунду вычислять точные кратчайшие расстояния от точек до поверхностей и определять ориентацию объектов в виртуальном пространстве.