При исследовании бесконечных алгебраических или трансцендентных кривых критически важно понимать их поведение на бесконечности. Часто ветви кривой не просто уходят вдаль, а стремятся слиться с определенными прямыми линиями. Такие прямые называются асимптотами. Асимптота — это прямая, к которой точки кривой приближаются бесконечно близко по мере их удаления от начала координат, но теоретически никогда ее не пересекают (в пределе). Аналитическая геометрия совместно с математическим анализом предоставляет строгий алгебраический аппарат для выявления и конструирования уравнений вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот, что позволяет строить точные эскизы самых сложных математических функций.

Замечательные оптические свойства конических сечений (эллипса, параболы и гиперболы) на плоскости находят свое абсолютное воплощение при переходе в трехмерное пространство. Поверхности вращения второго порядка — эллипсоиды, параболоиды и гиперболоиды — выступают в роли идеальных пространственных зеркал. Аналитическая геометрия позволяет доказать, что нормаль в любой точке такой поверхности делит угол между фокальными радиус-векторами по строгому математическому закону. Эти свойства не просто красивы в теории; они являются технологическим фундаментом для создания антенн спутниковой связи, радиотелескопов, лазерных резонаторов и медицинских установок ударно-волновой терапии.

Классическая аналитическая геометрия Декарта обладает одним существенным философским недостатком: в ней параллельные прямые никогда не пересекаются, что нарушает общую симметрию пересечения линий. Чтобы устранить эту аномалию и математически описать перспективу (например, рельсы, сходящиеся на горизонте), математики разработали проективную геометрию и систему однородных координат. Этот алгебраический аппарат добавляет к координатам точки еще одно, фиктивное измерение, позволяя строго аналитически описывать бесконечно удаленные точки и линии. Однородные координаты стали Святым Граалем компьютерной 3D-графики, позволив объединить вращение и параллельный перенос объектов в единую операцию умножения матриц.