Когда мы проектируем крыло самолета, опоры моста или корпус ядерного реактора, нам необходимо точно знать, как материал будет сопротивляться деформации под действием нагрузок. В отличие от силы, которая описывается простым вектором, внутренние напряжения в твердом теле распределяются во всех направлениях сложным образом. На каждую грань микроскопического кубика внутри металла действуют как нормальные силы (растяжение/сжатие), так и касательные (сдвиг). Для математического описания этой трехмерной паутины сил Огюстен Луи Коши создал Тензор напряжений — фундаментальный объект линейной алгебры. Тензорное исчисление переводит сложные физические законы Гука в форму матричных уравнений, где поиск разрушающих нагрузок сводится к классической спектральной задаче.

На протяжении веков математики использовали различные, несовместимые друг с другом инструменты для описания пространства: скалярное произведение, векторное произведение, комплексные числа, кватернионы, матрицы Паули, матрицы Дирака и дифференциальные формы. В 1878 году английский математик Уильям Кингдон Клиффорд осознал, что все эти разрозненные элементы являются лишь частными случаями одной глобальной математической структуры. Объединив внешнюю алгебру Грассмана с внутренней алгеброй скалярных произведений, он создал Геометрическую Алгебру (Алгебру Клиффорда). Эта алгебра позволяет записывать уравнения Максвелла в электродинамике одной единственной строкой и предоставляет компьютерной графике самый мощный инструмент для описания вращений и отражений в пространствах любой размерности.

В классическом евклидовом пространстве расстояние между точками измеряется с помощью теоремы Пифагора, что математически эквивалентно использованию единичной матрицы в квадратичной форме. Однако в статистике и машинном обучении данные часто имеют сложную структуру: переменные имеют разный масштаб (например, рост в метрах и вес в граммах) и сильно коррелируют друг с другом (высокие люди обычно весят больше). Использование обычного евклидова расстояния для поиска аномалий или кластеризации таких данных приведет к катастрофическим ошибкам. Индийский статистик Прасанта Чандра Махаланобис решил эту проблему, внедрив в формулу расстояния обратную ковариационную матрицу. Метрика Махаланобиса превращает облако зависимых вероятностей в идеально круглое, симметричное пространство.