Полуопределенное программирование (Semidefinite Programming, SDP) — это высшая ступень иерархии выпуклого конического программирования, поглощающая в себя линейное, квадратичное и коническое программирование второго порядка. В SDP переменной оптимизации выступает не вектор, а симметричная матрица, и задача состоит в минимизации линейной функции от ее элементов при условии, что сама матрица (или аффинная комбинация заданных матриц) является положительно полуопределенной. Этот математический аппарат совершил настоящую революцию в теории управления, комбинаторной оптимизации и квантовой теории информации.

Программирование в конусах второго порядка (Second-Order Cone Programming, SOCP) представляет собой широчайший класс задач выпуклой оптимизации, который обобщает как линейное (LP), так и выпуклое квадратичное программирование (QP, QCQP). В задачах SOCP линейная целевая функция минимизируется на пересечении аффинного подпространства и декартова произведения конусов второго порядка. Эта математическая структура обладает исключительной выразительной силой, позволяя моделировать сложнейшие инженерные и экономические ограничения, сохраняя при этом возможность решения за строго полиномиальное время.

Марковские цепи образуют мощный аналитический фундамент для стохастического моделирования в математическом программировании и исследовании операций. Способность этих моделей описывать эволюцию динамических систем, где будущее состояние зависит исключительно от настоящего и не зависит от прошлого (свойство отсутствия последействия, или Марковское свойство), делает их универсальным инструментом в анализе надежности сложных инженерных структур, теории очередей, эконометрике и разработке передовых алгоритмов ранжирования информации (таких как PageRank).

Субмодулярность в дискретной (комбинаторной) оптимизации играет ту же фундаментальную роль, что и выпуклость/вогнутость в непрерывном математическом программировании. Субмодулярные функции формализуют интуитивное экономическое понятие убывающей предельной полезности (diminishing returns) и повсеместно возникают в задачах машинного обучения, выбора признаков, размещения сенсорных сетей, максимизации влияния в социальных сетях и задачах покрытия. Оптимизация таких функций представляет собой передний край современной прикладной математики.