Уравнение Лапласа (Delta u = 0) описывает стационарные потенциалы, равномерные потоки и минимальные поверхности. Гармонические функции обладают средним значением и максимальным принципом.

Уравнение теплопроводности (u_t = k Delta u) описывает диффузию тепла, концентрации веществ и случайные блуждания. Решение использует ряды Фурье, краевые задачи и фундаментальные решения.

Волновое уравнение (u_{tt} = c^2 Delta u) описывает распространение волн в средах, объединяя ряды Фурье, краевые задачи и численные методы. Решение использует разделение переменных двадцать третьей статьи и преобразования восемнадцатой.