Теория игр в политологии и корпоративном управлении: индексы влияния Шепли-Шубика и Банцафа

Математическим аппаратом для моделирования голосований служат Простые кооперативные игры (Simple Games). В таких играх характеристическая функция может принимать только два строгих значения: единица (если коалиция имеет достаточно голосов для принятия решения — выигрывающая коалиция) или ноль (если голосов не хватает — проигрывающая коалиция). Игроки с правом вето (как постоянные члены Совбеза ООН) математически определяются как участники, без присутствия которых ни одна коалиция в игре физически не может стать выигрывающей. Для расчета справедливого веса каждого участника в этой бинарной системе Ллойд Шепли и Мартин Шубик в 1954 году адаптировали знаменитый Вектор Шепли.

Индекс Шепли-Шубика (Shapley-Shubik Power Index) базируется на концепции случайных перестановок и формирования очередей. Представим, что все участники голосования один за другим заходят в зал и присоединяются к формирующейся коалиции. По мере их входа общая сумма голосов растет. Тот конкретный участник, чей приход перевел коалицию из статуса проигрывающей (меньше квоты) в статус выигрывающей (достижение квоты), называется решающим голосом (Pivotal Voter). Индекс Шепли-Шубика вычисляет математическую вероятность того, что именно данный игрок окажется решающим, если все возможные факториальные перестановки порядка входа игроков равновероятны. Этот индекс идеально отражает способность акционера переломить ход голосования в условиях интенсивных кулуарных переговоров.

Альтернативный подход был предложен Джоном Банцафом в 1965 году (первоначально для анализа неравного представительства в округах США). Индекс Банцафа (Banzhaf Power Index) игнорирует порядок формирования коалиций и фокусируется на комбинаторике критических выходов. Алгоритм рассматривает абсолютно все возможные выигрывающие коалиции. Игрок считается критическим (Critical Voter) для данной коалиции, если его уход из нее превращает коалицию из выигрывающей в проигрывающую (решение отменяется). Алгоритм просто подсчитывает общее количество раз, когда конкретный игрок оказался критическим, и делит это число на суммарное количество критических позиций всех игроков в игре. Индекс Банцафа лучше описывает ситуации, когда игроки принимают решения независимо, не формируя последовательных альянсов.

Хотя оба индекса дают схожие результаты для простых систем, на сложных графах они выявляют парадоксальные перекосы власти. Например, в 1958 году при вхождении новых государств в ЕЭС расчеты по индексам силы математически доказали, что Люксембург (имея 1 голос из 17) на самом деле имел индекс силы, строго равный нулю! Любая комбинация голосов крупных стран (Франции, Германии, Италии) могла принять или отклонить решение абсолютно без участия Люксембурга. Это открытие заставило политиков пересмотреть правила распределения квот. Сегодня индексы Банцафа и Шепли-Шубика алгоритмически используются не только в конституционном праве, но и при распределении долей прибыли в венчурных синдикатах, защите от поглощений на фондовом рынке и оценке уязвимости критически важных узлов в компьютерных сетях.