Теория игр в экономике: равновесие Курно, Бертрана и анализ олигополий

Модель Курно (разработанная французским математиком Огюстом Курно в 1838 году) описывает конкуренцию по объему выпуска продукции. Предполагается, что две фирмы (дуополия) производят однородный товар и одновременно принимают решение о том, сколько тонн продукции поставить на рынок. Рыночная цена не фиксирована; она линейно убывает в зависимости от суммарного объема товара, предложенного обеими компаниями (закон спроса). Целевая функция каждой фирмы — максимизация собственной прибыли. Математически фирма номер один берет производную от своей функции прибыли по своему объему выпуска, приравнивает ее к нулю и получает так называемую Функцию реакции (Best Response Function). Эта алгебраическая кривая показывает оптимальный объем производства первой фирмы для абсолютно любого гипотетического объема производства конкурента.

Равновесие Курно (которое является частным случаем равновесия Нэша) достигается строго в точке пересечения двух функций реакции на графике. В этой магической точке ни одна из корпораций не имеет математического стимула менять свой объем выпуска в одностороннем порядке. Парадокс модели Курно заключается в том, что суммарный объем производства в равновесии больше, чем при монополии, но меньше, чем при совершенной конкуренции. Соответственно, рыночная цена оказывается ниже монопольной, но выше себестоимости. Если фирмы тайно вступят в сговор (создадут картель), они могут сократить выпуск и искусственно взвинтить цену до монопольного уровня, однако теория игр доказывает, что такой картель внутренне нестабилен: у каждого участника есть колоссальный математический соблазн втайне нарушить квоту и продать больше товара по высокой цене, что в итоге всегда разрушает сговор.

Диаметрально противоположный подход предлагает Модель Бертрана (1883 год). Бертран утверждал, что в реальности фирмы соревнуются не объемами, а ценами на свои товары. Потребители абсолютно рациональны и всегда покупают товар у того, чья цена ниже хотя бы на один цент. В такой игре функция спроса для каждой фирмы носит разрывный (ступенчатый) характер. Математический анализ этой модели приводит к поразительному и шокирующему результату, известному как Парадокс Бертрана: если на рынке присутствуют всего две фирмы с одинаковой себестоимостью, они будут бесконечно перебивать цены друг друга (демпинговать), пока рыночная цена не упадет ровно до уровня предельных издержек. Дуополия ведет себя так же эффективно для потребителя, как рынок с миллионом конкурентов, а сверхприбыль корпораций становится строго равной нулю.

Разрешение парадокса Бертрана в современных исследованиях операций достигается внедрением моделей с дифференциацией продукта. Если товары не являются абсолютными заменителями (например, iOS и Android, Coca-Cola и Pepsi), покупатели не перебегают к конкуренту мгновенно из-за разницы в один цент. Математические функции спроса становятся сглаженными. В такой игре равновесие Бертрана-Нэша достигается при ценах, которые строго превышают себестоимость. Вычисляя матрицы эластичности спроса по цене, аналитики корпораций решают системы нелинейных уравнений для нахождения оптимальных равновесных цен, превращая абстрактную теорию игр в главный инструмент ценового позиционирования на мировых потребительских рынках.