Деревья решений: вероятностный анализ и байесовские сети в управлении рисками

Математическая структура дерева решений представляет собой направленный ациклический граф, состоящий из узлов трех типов и соединяющих их ветвей. Квадратные узлы (узлы принятия решений) обозначают моменты времени, когда ЛПР должно выбрать одну из доступных альтернатив. Круглые узлы (узлы случайностей или состояний природы) символизируют моменты, когда в игру вступают внешние стохастические факторы, исход которых неподвластен ЛПР. Из круглых узлов исходят ветви, каждой из которых приписана строгая априорная или апостериорная вероятность наступления данного события. Третий тип узлов — треугольные (или терминальные) — располагаются на самых концах ветвей графа и содержат числовую оценку исхода (платеж, выигрыш или издержки), к которому привела данная конкретная траектория событий.Центральным критерием оптимизации при анализе дерева решений является максимизация ожидаемой денежной оценки (Expected Monetary Value, EMV). Алгоритм решения задачи использует метод обратной индукции (свертки дерева), двигаясь от терминальных узлов справа налево к корневому узлу. В каждом случайном (круглом) узле вычисляется математическое ожидание: сумма произведений вероятностей исходов на их финансовые результаты. Когда алгоритм достигает узла принятия решений (квадратного), он сравнивает ожидаемые оценки всех исходящих из него альтернативных ветвей и отсекает те, которые ведут к менее выгодным результатам. Выбранная оптимальная ветвь передает свою максимальную оценку на предыдущий уровень. Этот процесс рекурсивно продолжается до тех пор, пока не будет достигнут корень дерева, формируя абсолютно оптимальную стратегию для каждого возможного сценария развития событий.Значительное расширение аналитической мощи деревьев решений достигается за счет интеграции с теоремой Байеса. На практике ЛПР часто имеет возможность за дополнительную плату провести маркетинговое исследование, геологическую разведку или заказать экспертное заключение для уточнения вероятностей будущих состояний природы. В этом случае дерево решений усложняется: добавляются новые узлы тестирования. Используя формулу Байеса, аналитик пересчитывает исходные (априорные) вероятности в новые (апостериорные) с учетом точности и надежности проведенного исследования. Разница между ожидаемой денежной оценкой оптимальной стратегии с использованием новой информации и оценкой без нее называется ожидаемой ценностью выборочной информации (Expected Value of Sample Information, EVSI). Если стоимость самого исследования превышает EVSI, его проведение признается экономически нецелесообразным.Для оценки абсолютного предела полезности исследований вводится теоретический концепт ожидаемой ценности идеальной информации (Expected Value of Perfect Information, EVPI). EVPI показывает, сколько руководство компании могло бы заплатить ясновидящему, который способен со стопроцентной точностью предсказывать будущие состояния рынка. Вычисляется EVPI как разность между выигрышем при наличии идеальной информации (когда мы всегда выбираем наилучшую альтернативу для каждого состояния, зная его заранее) и классическим EMV в условиях неопределенности. Этот показатель служит жестким верхним потолком для бюджетирования любых аналитических отделов и разведывательных мероприятий в корпорации.Хотя критерий EMV является стандартом в риск-менеджменте, он обладает существенным недостатком: он предполагает нейтральное отношение ЛПР к риску, что не отражает реальной психологии инвесторов и менеджеров. Для компенсации этого недостатка теория деревьев решений объединяется с теорией ожидаемой полезности фон Неймана-Моргенштерна (Expected Utility Theory). Вместо абсолютных денежных сумм в терминальные узлы дерева подставляются значения функции полезности (утилиты), которые растут нелинейно в зависимости от богатства ЛПР. Для инвестора, избегающего риска (risk-averse), функция полезности будет вогнутой, что заставит алгоритм обратной индукции выбирать более консервативные ветви дерева, жертвуя максимизацией математического ожидания ради снижения дисперсии и защиты от потенциального банкротства. Этот междисциплинарный синтез делает аппарат деревьев решений гибким и глубоко персонализированным инструментом стратегического управления.