В теории линейных операторов важнейшей задачей является приведение матрицы к максимально простому и понятному виду. Жорданова нормальная форма дает исчерпывающий ответ на этот вопрос в теории, однако на практике ее вычисление вычислительно нестабильно и разрушается при малейших возмущениях данных. В 1954 году математик Нельсон Данфорд формализовал альтернативный, алгебраически более надежный и элегантный подход, известный сегодня как разложение Данфорда (или аддитивное разложение Жордана-Шевалле). Это разложение представляет любой линейный оператор в виде суммы двух коммутирующих частей: полупростой (идеально диагонализуемой) и нильпотентной. Разложение Данфорда играет фундаментальную роль в теории групп Ли, алгебраической геометрии и функциональном анализе.

Когда данные имеют сверхвысокую размерность и нелинейную природу (например, форма молекул белка в биоинформатике, структура космической паутины галактик или данные с датчиков мозговой активности), традиционные статистические методы классификации дают сбой. Данные — это не просто числа, данные имеют «форму». Извлечением геометрической структуры (дыр, туннелей, пустот) из хаотичных облаков точек занимается Топологический анализ данных (Topological Data Analysis, TDA). Вычислительным ядром TDA являются персистентные гомологии — метод, который переводит абстрактную алгебраическую топологию на язык матриц над конечными полями Галуа, превращая вычисление многомерных геометрических пустот в простую процедуру гауссова исключения.

Математический анализ (дифференцирование и интегрирование) изначально создавался для работы со скалярными функциями. Однако в современной статистике, теории управления и алгоритмах машинного обучения (в частности, при тренировке глубоких нейронных сетей) функции зависят не от одной переменной, а от огромных векторов и матриц. Поиск минимума таких сложных многомерных функций потерь требует вычисления производных по матричному аргументу. Матричное исчисление (Matrix Calculus) — это строгий математический аппарат, объединяющий компактную нотацию линейной алгебры с цепными правилами математического анализа, позволяющий брать производные от матриц по векторам и от скаляров по матрицам без утомительного расписывания тысяч частных производных.