В базовом курсе квантовой механики состояния частиц описываются волновыми функциями (кет-векторами в гильбертовом пространстве). Однако такой подход описывает лишь «чистые» состояния изолированных систем. В реальных физических экспериментах мы всегда имеем дело со статистическими ансамблями (толпами частиц) или с подсистемами, которые квантово запутаны с окружающей средой. Для описания таких смешанных, неопределенных состояний классического вектора недостаточно. В 1927 году Лев Ландау и Джон фон Нейман независимо друг от друга ввели в физику потрясающий математический объект — матрицу плотности (оператор плотности). Изучение матриц плотности является вершиной применения линейной алгебры в квантовой термодинамике и квантовых компьютерах.

Компьютерная революция XX века строилась на булевой алгебре и битах, принимающих значения строго 0 или 1. Однако на микроскопическом уровне законы классической физики перестают работать, уступая место квантовой механике. Квантовые компьютеры используют кубиты — объекты, которые могут находиться в суперпозиции, одновременно являясь и нулем, и единицей с определенными вероятностями. Язык, на котором разговаривает квантовый мир — это линейная алгебра комплексных векторных пространств. Состояния кубитов описываются векторами, а любые логические операции (гейты) над ними — исключительно унитарными матрицами. Изучение свойств этих матриц — это базовый шаг для понимания квантового превосходства, квантовой криптографии и алгоритмов Шора и Гровера.