Функция z = f(x,y) нескольких переменных дифференцируема по x при фиксированном y: ∂f/∂x = lim_{h→0} [f(x+h,y)-f(x,y)]/h. Частная производная описывает скорость изменения по одной координате. Смешанные производные ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x по т. Шварца при непрерывности. (352 символа)

Голоморфная функция f(z) дифференцируема в смысле комплексной производной f'(z) = lim_{h→0} [f(z+h)-f(z)]/h, h∈ℂ. Условие Коши-Римана: ∂u/∂x = ∂v/∂y, ∂u/∂y = -∂v/∂x для f = u+iv. Голоморфные функции аналитичны всюду в области. (378 символов)

Криволинейный интеграл 1-го рода ∫_C f ds — работа вдоль кривой, 2-го рода ∫_C F · dr — поток через кривую. Поверхностный ∬_S F · dS — поток через поверхность. Параметризация: ds = ||r'(t)|| dt, dr = r'(t) dt. Основные инструменты векторного анализа. (392 символа)