Исторически аналитическая геометрия зарождалась как наука о точках и отрезках на плоскости или в трехмерном пространстве. Однако потребности квантовой механики, теории относительности и функционального анализа привели математиков к необходимости обобщения геометрических идей на пространства любой, в том числе бесконечной, размерности. Так возникла концепция линейного (векторного) пространства — абстрактной алгебраической структуры, в которой элементы можно складывать друг с другом и умножать на числа (скаляры), не опираясь на их визуальное геометрическое представление. Понимание аксиоматики векторных пространств и свойств базисов является фундаментом современной высшей алгебры и многомерной геометрии.

Декартова и аффинная геометрии вынуждены жестко классифицировать эллипсы, параболы и гиперболы как принципиально разные, несовместимые объекты. Это разделение продиктовано исключительно их поведением на бесконечности (эллипс замкнут, парабола уходит в одну сторону, гипербола разрывается на две ветви). Проективная геометрия, расширяя классическую плоскость бесконечно удаленной линией и используя однородные координаты, радикально устраняет это искусственное разделение. В проективном пространстве все невырожденные действительные кривые второго порядка (коники) оказываются абсолютно эквивалентными друг другу. Это грандиозное геометрическое объединение позволяет доказывать сложнейшие теоремы, переводя их на универсальный язык алгебры матриц третьего порядка.

Любая центральная поверхность второго порядка, будь то эллипсоид или гиперболоид, обладает природными осями симметрии. Однако если эта поверхность расположена в пространстве произвольным образом (повернута относительно осей координат), ее уравнение содержит сложные перекрестные члены xy, xz и yz. Интуитивно распознать ориентацию такой поверхности невозможно. Поиск главных направлений (главных осей симметрии) является одной из самых важных и математически глубоких задач аналитической геометрии. Эта задача изящно решается методами спектральной линейной алгебры — через поиск собственных значений и собственных векторов симметричной матрицы старшей квадратичной формы. Определение главных направлений позволяет инженерам находить главные оси инерции твердых тел и тензоры напряжений в балках.