Одной из величайших вершин математической мысли XIX века является «Замечательная теорема» (Theorema Egregium), открытая и доказанная Карлом Фридрихом Гауссом в 1827 году. В ходе своих исследований геодезии и картографии Гаусс обнаружил потрясающий алгебро-геометрический парадокс. Он доказал, что полная (гауссова) кривизна поверхности, которая изначально определяется через внешние радиусы ее пространственных изгибов в трехмерном мире, на самом деле может быть вычислена исключительно на основе измерений, проведенных внутри самой поверхности (без выхода в третье измерение). Это открытие перевернуло философию аналитической геометрии, породив понятие внутренней геометрии многообразий и заложив концептуальный фундамент для общей теории относительности Эйнштейна.

Если первая квадратичная форма описывает исключительно внутреннюю геометрию поверхности (измерения, которые может провести «плоский» наблюдатель, ползающий по ней и не подозревающий о существовании третьего измерения), то вторая квадратичная форма отвечает за внешнюю геометрию — то, как эта поверхность изгибается и располагается в объемлющем трехмерном евклидовом пространстве. Совместный алгебраический анализ этих двух квадратичных форм дает исчерпывающее математическое описание любой гладкой оболочки. Именно этот инструмент дифференциальной аналитической геометрии повсеместно используется инженерами-конструкторами при проектировании обтекаемых аэродинамических профилей, автомобильных кузовов и расчете напряжений в тонкостенных бетонных конструкциях.

В аналитической геометрии переход от изучения плоских фигур к анализу искривленных поверхностей требует разработки принципиально нового мощного алгебраического аппарата. Основой этого математического языка выступает первая квадратичная форма поверхности. Она представляет собой дифференциальное выражение, которое полностью и однозначно определяет внутреннюю метрику многообразия: длины дуг кривых, углы между пересекающимися на поверхности линиями и площади локальных участков. Глубокое понимание первой квадратичной формы позволяет современным картографам и геодезистам переносить измерения с трехмерного глобуса на плоские навигационные карты, математически точно оценивая и минимизируя возникающие при этом масштабные искажения.