Метод Галеркина: проекционный подход к решению краевых задач
Переход от дифференциальных уравнений к вариационным задачами
В вычислительной математике существует глубокая связь между решением дифференциальных уравнений и поиском минимума функционала энергии. Этот принцип, заложенный еще в трудах Рэлея и Ритца, получил свое наиболее мощное и универсальное обобщение в 1915 году в работах выдающегося русского инженера и математика Бориса Григорьевича Галеркина. Метод Галеркина относится к классу проекционных методов и служит фундаментальным математическим обоснованием современного метода конечных элементов (МКЭ).
Идея проекционных методов кардинально отличается от метода конечных разностей. Если в разностных схемах мы требуем, чтобы дифференциальное уравнение строго выполнялось в каждом отдельном узле сетки (точечная коллокация), то в методе Галеркина мы отказываемся от этого жесткого требования. Вместо этого мы требуем, чтобы уравнение выполнялось «в среднем» по всей расчетной области. Это означает, что невязка (ошибка, возникающая при подстановке приближенного решения в уравнение) не обязательно равна нулю в каждой точке, но она должна быть ортогональна определенному пространству функций.
Пробные и тестовые функции: слабая формулировка
Процесс решения начинается с того, что искомая непрерывная функция представляется в виде линейной комбинации так называемых базисных (или пробных) функций с неизвестными коэффициентами. Эти функции выбираются так, чтобы они заранее удовлетворяли заданным геометрическим граничным условиям задачи (например, обращались в ноль на жестко закрепленных краях балки).
Затем исходное дифференциальное уравнение умножается на весовую (или тестовую) функцию и интегрируется по всей расчетной области. В классическом методе Бубнова-Галеркина в качестве тестовых функций выбираются те же самые функции, что и в базисе пробных функций. Приравнивая полученный интеграл от невязки к нулю, мы гарантируем, что ошибка нашего приближения не содержит проекций на выбранный базис. Интегрирование по частям (формула Грина) позволяет перебросить часть производных с неизвестной функции на гладкую тестовую функцию. Это приводит к так называемой «слабой формулировке» задачи: требования к гладкости искомого решения радикально снижаются. Уравнение второго порядка теперь можно решать, используя базисные функции, имеющие лишь первые производные.
Сведение к СЛАУ и сходимость
В результате интегрирования непрерывная функциональная проблема превращается в дискретную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных коэффициентов разложения. Элементы матрицы этой СЛАУ вычисляются как интегралы от произведений базисных функций и их производных.
Если дифференциальный оператор исходной задачи является самосопряженным и положительно определенным (как, например, в задачах теории упругости или теплопроводности), то матрица Галеркина получается симметричной. Это позволяет использовать для ее решения сверхбыстрые итерационные алгоритмы, такие как метод сопряженных градиентов. Точность метода Галеркина возрастает при увеличении количества базисных функций. По теореме Сеа, метод Галеркина дает наилучшее возможное приближение к точному решению в энергетической норме среди всех возможных линейных комбинаций выбранного базиса. Сегодня этот математический аппарат является сердцем всех промышленных CAD/CAE систем, моделирующих напряжения в деталях турбин, кузовах автомобилей и бетонных плотинах.