Современная промышленность и анимация немыслимы без многосуставных роботизированных манипуляторов. В аналитической геометрии робототехники существуют две фундаментальные задачи. Прямая кинематика отвечает на вопрос: «Где окажется конец манипулятора, если мы зададим углы поворота во всех его суставах?» (задача решается простым перемножением матриц трансформации). Гораздо более сложной является инверсная кинематика (Inverse Kinematics, IK). Она отвечает на обратный вопрос: «На какие углы нужно повернуть каждый сустав робота, чтобы его клешня точно коснулась заданных координат в пространстве?». Решение этой задачи опирается на глубокий геометрический анализ, теорему косинусов и матрицу Якоби.

Задание прямой линии в трехмерном пространстве через систему двух уравнений плоскостей или через параметрический вектор вызывает массу неудобств в программировании. Как легко проверить, пересекаются ли две прямые? Как вычислить кратчайшее расстояние между ними без решения систем уравнений? В XIX веке Юлиус Плюккер изобрел элегантный алгебраический аппарат, который сопоставляет каждой прямой в трехмерном пространстве вектор с шестью координатами. Переход к плюккеровым координатам переводит сложные пространственные задачи в простые операции скалярного перемножения шестимерных векторов, что стало золотым стандартом в робототехнике, кинематике твердых тел и алгоритмах трассировки лучей (Ray Casting).